同济高数 第11章 第11-3-5题
📝 题目
5．设 $n$ 边形的 $n$ 个顶点按逆时针方向依次为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, M_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ．试利用曲线积分证明此 $n$ 边形的面积为
$$ A=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)+\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}\right)+\cdots+\left(x_{n-1} y_{n}-x_{n} y_{n-1}\right)+\left(x_{n} y_{1}-x_{1} y_{n}\right)\right] . $$
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明** 设多边形边界为分段光滑的闭曲线 $L$，方向为逆时针。由格林公式，平面区域 $D$ 的面积可表示为曲线积分： $$ A = \iint_D dx\,dy = \frac12 \oint_L (x\,dy - y\,dx). $$
将多边形边界 $L$ 分解为 $n$ 条直线段： $$ L = M_1M_2 \cup M_2M_3 \cup \cdots \cup M_{n-1}M_n \cup M_nM_1. $$
对于每一条线段 $M_kM_{k+1}$（其中 $M_{n+1}=M_1$），参数化如下： $$ x = x_k + t(x_{k+1} - x_k),\quad y = y_k + t(y_{k+1} - y_k),\quad t:0\to 1. $$ 则 $$ dx = (x_{k+1} - x_k)\,dt,\quad dy = (y_{k+1} - y_k)\,dt. $$
在该线段上的积分为： $$ \int_{M_kM_{k+1}} (x\,dy - y\,dx) = \int_0^1 \big[ (x_k + t(x_{k+1} - x_k))(y_{k+1} - y_k) - (y_k + t(y_{k+1} - y_k))(x_{k+1} - x_k) \big] dt. $$
展开并合并同类项： $$ \begin{aligned} &\text{被积函数} = x_k(y_{k+1} - y_k) - y_k(x_{k+1} - x_k) \\ &\quad + t\big[ (x_{k+1} - x_k)(y_{k+1} - y_k) - (y_{k+1} - y_k)(x_{k+1} - x_k) \big]. \end{aligned} $$ 第二项系数为零，故积分简化为： $$ \int_{M_kM_{k+1}} (x\,dy - y\,dx) = x_k(y_{k+1} - y_k) - y_k(x_{k+1} - x_k) = x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k. $$
因此，对整个闭曲线积分： $$ \oint_L (x\,dy - y\,dx) = \sum_{k=1}^{n-1} (x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k) + (x_n y_1 - x_1 y_n). $$
代入面积公式： $$ A = \frac12 \sum_{k=1}^{n-1} (x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k) + \frac12 (x_n y_1 - x_1 y_n), $$ 即 $$ A = \frac12 \big[ (x_1 y_2 - x_2 y_1) + (x_2 y_3 - x_3 y_2) + \cdots + (x_{n-1} y_n - x_n y_{n-1}) + (x_n y_1 - x_1 y_n) \big]. $$
证毕。