同济高数 第11章 第11-3-8题
📝 题目
8．设有界闭区域 $D$ 由 $x O y$ 面上的分段光滑曲线 $L$ 所围成，函数 $u=u(x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的二
阶偏导数，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u(x, y)$ 沿 $L$ 的外法向量的方向导数，证明
$$ \displaystyle{\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=\displaystyle{\iint}_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) \mathrm{d} \sigma, $$
其中 $L$ 取正向．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明** 设曲线 $L$ 是区域 $D$ 的边界，取正向（即逆时针方向）。记外法向量为 $\mathbf{n}$，切向量为 $\mathbf{T}$，且外法向量与切向量的关系为：若切向量方向为 $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$，则外法向量方向为 $(\mathrm{d}y, -\mathrm{d}x)$（因为旋转 $90^\circ$ 且指向外侧）。
沿曲线 $L$ 的外法向导数定义为： $$ \frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n} = \frac{\partial u}{\partial x} n_x + \frac{\partial u}{\partial y} n_y. $$
对于正向曲线，外法向量的方向余弦为： $$ n_x = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}, \quad n_y = -\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}. $$ 因此， $$ \frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}. $$
于是， $$ \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}s = \oint_L \left( \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}y - \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}x \right). $$
利用格林公式（Green's theorem），对于函数 $P = -\frac{\partial u}{\partial y}$，$Q = \frac{\partial u}{\partial x}$，有： $$ \oint_L P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}\sigma. $$
代入 $P = -\frac{\partial u}{\partial y}$，$Q = \frac{\partial u}{\partial x}$，得： $$ \oint_L \left( \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}y - \frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}x \right) = \iint_D \left( \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) - \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial u}{\partial y} \right) \right) \mathrm{d}\sigma. $$
计算被积函数： $$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left( -\frac{\partial u}{\partial y} \right) = -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, $$ 所以 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}. $$
因此， $$ \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}s = \iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) \mathrm{d}\sigma. $$
证毕。