同济高数 第11章 第11-4-8题

教材习题

📝 题目

8．求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量．

💡 答案解析

[AI解答]

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**问题**：求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} (z \geq 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量。

**解**：

转动惯量公式为 $$ I_z = \iint_{S} (x^2 + y^2) \,\mu_{0}\, \mathrm{d}S $$ 由于 $\mu_{0}$ 为常数，可提出积分号外： $$ I_z = \mu_{0} \iint_{S} (x^2 + y^2) \,\mathrm{d}S $$

半球壳参数化：采用球坐标 $$ x = a \sin\varphi \cos\theta,\quad y = a \sin\varphi \sin\theta,\quad z = a \cos\varphi $$ 其中 $\varphi \in [0, \pi/2]$（因为 $z \ge 0$），$\theta \in [0, 2\pi)$。

球面上面积元为 $$ \mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta $$ 并且 $$ x^2 + y^2 = a^2 \sin^2\varphi $$

因此被积函数为 $$ (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}S = (a^2 \sin^2\varphi) \cdot (a^2 \sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta) = a^4 \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}\theta $$

于是转动惯量 $$ I_z = \mu_{0} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi/2} a^4 \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi $$

先对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi $$

再对 $\varphi$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{\pi/2} \sin\varphi (1 - \cos^2\varphi) \,\mathrm{d}\varphi $$ 令 $u = \cos\varphi$，则 $\mathrm{d}u = -\sin\varphi \,\mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\pi/2$ 时 $u=0$，于是 $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3\varphi \,\mathrm{d}\varphi = \int_{1}^{0} (1 - u^2)(-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{1} (1 - u^2)\,\mathrm{d}u = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

因此 $$ I_z = \mu_{0} \cdot 2\pi \cdot a^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi a^4 \mu_{0}}{3} $$

**最终答案**： $$ \boxed{I_z = \frac{4\pi a^{4} \mu_{0}}{3}} $$

**难度评级**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：写出转动惯量公式
转动惯量公式为 $I_z = \iint_S (x^2+y^2) \mu_0 \, dS$，由于面密度 $\mu_0$ 为常数，可提出积分号外：$I_z = \mu_0 \iint_S (x^2+y^2) \, dS$。
公式：I_z = \mu_0 \iint_S (x^2+y^2) \, dS
提示：注意转动惯量是标量，被积函数是点到转轴距离的平方。
步骤 2/7
目标：参数化半球壳
采用球坐标参数化：$x = a\sin\varphi\cos\theta$, $y = a\sin\varphi\sin\theta$, $z = a\cos\varphi$，其中 $\varphi \in [0, \pi/2]$（因为 $z \ge 0$），$\theta \in [0, 2\pi)$。
提示：注意 $\varphi$ 是极角，从 $z$ 轴正方向开始度量。
步骤 3/7
目标：计算面积元和被积函数
球面上面积元为 $dS = a^2 \sin\varphi \, d\varphi d\theta$，且 $x^2+y^2 = a^2 \sin^2\varphi$，因此 $(x^2+y^2) dS = a^4 \sin^3\varphi \, d\varphi d\theta$。
公式：dS = a^2 \sin\varphi \, d\varphi d\theta, \quad x^2+y^2 = a^2 \sin^2\varphi
提示：面积元公式来源于球坐标的雅可比行列式。
步骤 4/7
目标：化为累次积分
将积分化为 $I_z = \mu_0 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} a^4 \sin^3\varphi \, d\varphi$。
公式：I_z = \mu_0 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} a^4 \sin^3\varphi \, d\varphi
提示：注意积分区域：$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$\varphi$ 从 $0$ 到 $\pi/2$。
步骤 5/7
目标：计算 $\theta$ 积分
$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。
步骤 6/7
目标：计算 $\varphi$ 积分
计算 $\int_0^{\pi/2} \sin^3\varphi \, d\varphi = \int_0^{\pi/2} \sin\varphi (1-\cos^2\varphi) \, d\varphi$。令 $u=\cos\varphi$，则 $du = -\sin\varphi d\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\pi/2$ 时 $u=0$，积分变为 $\int_1^0 (1-u^2)(-du) = \int_0^1 (1-u^2) du = [u - u^3/3]_0^1 = 1 - 1/3 = 2/3$。
公式：\int_0^{\pi/2} \sin^3\varphi \, d\varphi = \frac{2}{3}
提示：使用换元法，注意积分限的变化。
步骤 7/7
目标：合并结果
因此 $I_z = \mu_0 \cdot 2\pi \cdot a^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi a^4 \mu_0}{3}$。
公式：I_z = \frac{4\pi a^4 \mu_0}{3}

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