同济高数 第11章 第11-5-2题
📝 题目
2．当 $\Sigma$ 为 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 与二重积分有什么关系？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 当曲面 $\Sigma$ 是 $xOy$ 平面内的一个闭区域（即 $z=0$ 的平面区域）时，曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y $$ 实际上退化为二重积分。这是因为此时曲面的法向量垂直于 $z$ 轴，且曲面方程为 $z = 0$，所以曲面积分中的面积元投影到 $xOy$ 平面就是该区域本身，没有方向变化带来的符号因子（若取上侧或下侧一致，则符号为 $+1$ 或 $-1$，但通常我们取上侧为正方向，即法向量与 $z$ 轴正向一致）。
因此，当 $\Sigma$ 是 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$ 时，有 $$ \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_{D} R(x, y, 0) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. $$ 这就是曲面积分与二重积分的关系：曲面积分直接化为被积函数在 $z=0$ 处的取值在区域 $D$ 上的二重积分。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解曲面积分退化为二重积分的条件
当曲面Σ是xOy平面内的一个闭区域时，曲面方程为z=0，且曲面法向量垂直于z轴。此时曲面积分中的面积元投影到xOy平面就是该区域本身，没有方向变化带来的符号因子。
提示：注意曲面是平面区域，且位于z=0上。
步骤 2/2
目标：写出曲面积分与二重积分的关系式
将曲面方程z=0代入被积函数R(x,y,z)，得到R(x,y,0)，然后对xOy平面上的闭区域D进行二重积分。即∬_Σ R(x,y,z) dxdy = ∬_D R(x,y,0) dxdy。
公式：∬_Σ R(x,y,z) dxdy = ∬_D R(x,y,0) dxdy
提示：若取上侧为正方向，则符号为正；若取下侧，则需加负号。
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