同济高数 第11章 第11-6-*2题

教材习题

📝 题目

＊2．求下列向量 $\boldsymbol{A}$ 穿过曲面 $\Sigma$ 流向指定侧的通量： （1） $\boldsymbol{A}=y z i+x z j+x y k, \Sigma$ 为圆柱 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}(0 \leqslant z \leqslant h)$ 的全表面，流向外侧； （2） $\boldsymbol{A}=(2 x-z) i+x^{2} y j-x z^{2} k, \Sigma$ 为立方体 $0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的全表面，流向外侧； （3） $\boldsymbol{A}=(2 x+3 z) \boldsymbol{i}-(x z+y) \boldsymbol{j}+\left(y^{2}+2 z\right) \boldsymbol{k}, \boldsymbol{\Sigma}$ 是以点 $(3,-1,2)$ 为球心，半径 $R=3$ 的球面，流向外侧．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 向量场 $$ \boldsymbol{A}=y z\,\boldsymbol{i}+x z\,\boldsymbol{j}+x y\,\boldsymbol{k} $$ 穿过圆柱面 $x^2+y^2 \le a^2,\;0\le z\le h$ 的全表面外侧的通量。

使用高斯散度定理： $$ \Phi = \iiint_{V} \nabla\cdot\boldsymbol{A}\,dV $$ 先计算散度： $$ \nabla\cdot\boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}(yz) + \frac{\partial}{\partial y}(xz) + \frac{\partial}{\partial z}(xy) = 0+0+0 = 0 $$ 因此 $$ \Phi = \iiint_{V} 0\,dV = 0 $$

**（2）** 向量场 $$ \boldsymbol{A} = (2x - z)\,\boldsymbol{i} + x^{2}y\,\boldsymbol{j} - x z^{2}\,\boldsymbol{k} $$ 穿过立方体 $0\le x\le a,\;0\le y\le a,\;0\le z\le a$ 全表面外侧的通量。

计算散度： $$ \nabla\cdot\boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - z) + \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) + \frac{\partial}{\partial z}(-x z^{2}) $$ $$ = 2 + x^{2} - 2xz $$ 由高斯散度定理： $$ \Phi = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} (2 + x^{2} - 2xz)\,dx\,dy\,dz $$ 先对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{a} (2 + x^{2} - 2xz)\,dx = \left[2x + \frac{x^{3}}{3} - x^{2}z\right]_{0}^{a} = 2a + \frac{a^{3}}{3} - a^{2}z $$ 再对 $y$ 积分（被积函数与 $y$ 无关，乘以 $a$）： $$ \int_{0}^{a} \left(2a + \frac{a^{3}}{3} - a^{2}z\right) dy = a\left(2a + \frac{a^{3}}{3} - a^{2}z\right) $$ 最后对 $z$ 积分： $$ \Phi = \int_{0}^{a} \left(2a^{2} + \frac{a^{4}}{3} - a^{3}z\right) dz = \left[2a^{2}z + \frac{a^{4}}{3}z - \frac{a^{3}z^{2}}{2}\right]_{0}^{a} $$ $$ = 2a^{3} + \frac{a^{5}}{3} - \frac{a^{5}}{2} = 2a^{3} - \frac{a^{5}}{6} $$

**（3）** 向量场 $$ \boldsymbol{A} = (2x+3z)\,\boldsymbol{i} - (xz+y)\,\boldsymbol{j} + (y^{2}+2z)\,\boldsymbol{k} $$ 穿过球心 $(3,-1,2)$、半径 $R=3$ 的球面外侧的通量。

计算散度： $$ \nabla\cdot\boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}(2x+3z) + \frac{\partial}{\partial y}(-xz - y) + \frac{\partial}{\partial z}(y^{2}+2z) $$ $$ = 2 + (-1) + 2 = 3 $$ 由高斯散度定理，通量等于 $$ \Phi = \iiint_{V} 3\,dV = 3 \cdot \text{球的体积} $$ 球的体积为 $$ V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi $$ 因此 $$ \Phi = 3 \times 36\pi = 108\pi $$

**最终答案：** （1）$0$ （2）$\displaystyle 2a^{3} - \frac{a^{5}}{6}$ （3）$108\pi$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：计算向量场A的散度
对于(1)，A=yz i+xz j+xy k，散度∇·A = ∂(yz)/∂x + ∂(xz)/∂y + ∂(xy)/∂z = 0+0+0=0。
公式：∇·A = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z
提示：散度为零，通量必为零。
步骤 2/6
目标：应用高斯散度定理求通量
通量Φ = ∭_V (∇·A) dV = ∭_V 0 dV = 0。
公式：Φ = ∬_Σ A·dS = ∭_V (∇·A) dV
提示：高斯定理将曲面积分转化为三重积分。
步骤 3/6
目标：计算(2)的散度
A=(2x-z)i+x²y j-xz² k，散度∇·A = ∂(2x-z)/∂x + ∂(x²y)/∂y + ∂(-xz²)/∂z = 2 + x² - 2xz。
公式：∇·A = 2 + x² - 2xz
提示：注意偏导计算要准确。
步骤 4/6
目标：三重积分计算通量
Φ = ∫_0^a ∫_0^a ∫_0^a (2+x²-2xz) dx dy dz。先对x积分：∫_0^a (2+x²-2xz)dx = 2a + a³/3 - a²z；再对y积分：乘以a得 a(2a + a³/3 - a²z)；最后对z积分：∫_0^a (2a² + a⁴/3 - a³z) dz = 2a³ + a⁵/3 - a⁵/2 = 2a³ - a⁵/6。
公式：Φ = ∫_0^a ∫_0^a ∫_0^a (2+x²-2xz) dx dy dz
提示：积分顺序可调，但需注意积分限。
步骤 5/6
目标：计算(3)的散度
A=(2x+3z)i - (xz+y)j + (y²+2z)k，散度∇·A = ∂(2x+3z)/∂x + ∂(-xz-y)/∂y + ∂(y²+2z)/∂z = 2 + (-1) + 2 = 3。
公式：∇·A = 3
提示：散度为常数，通量等于常数乘以体积。
步骤 6/6
目标：计算球体积并求通量
球半径R=3，体积V=4/3 π R³ = 4/3 π * 27 = 36π，通量Φ = 3 * 36π = 108π。
公式：V = 4/3 π R³, Φ = 3V
提示：球体积公式要牢记。

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