同济高数 第11章 第11-6-*5题
📝 题目
＊5．利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于该物体所排开的液体所受的重力．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们设物体表面为封闭曲面 $S$，所围成的空间区域为 $\Omega$，液体密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$，取竖直向下为 $z$ 轴正方向，则液体内深度 $z$ 处的压强为 $p = \rho g z$（设液面处 $z=0$）。物体表面所受液体压力方向垂直于表面指向物体内部，因此压力向量为 $$ d\mathbf{F} = -p\,\mathbf{n}\,dS, $$ 其中 $\mathbf{n}$ 为曲面 $S$ 的单位外法向量。
总压力（即浮力）为 $$ \mathbf{F} = \iint_{S} (-p\mathbf{n})\,dS. $$
利用高斯公式（散度定理）：对任意向量场 $\mathbf{A}$，有 $$ \iint_{S} \mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{\Omega} \nabla\cdot\mathbf{A}\,dV. $$ 但这里我们需要处理的是向量形式的面积分 $\iint_{S} p\mathbf{n}\,dS$。考虑将每个分量分别应用高斯公式。设 $\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z)$，则 $$ F_x = -\iint_{S} p\, n_x\, dS,\quad F_y = -\iint_{S} p\, n_y\, dS,\quad F_z = -\iint_{S} p\, n_z\, dS. $$
对 $F_z$ 分量，取向量场 $\mathbf{A} = (0,0,p)$，则 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{n} = p\, n_z$，于是 $$ \iint_{S} p\, n_z\, dS = \iiint_{\Omega} \frac{\partial p}{\partial z}\, dV. $$ 由于 $p = \rho g z$，得 $\displaystyle \frac{\partial p}{\partial z} = \rho g$，因此 $$ \iint_{S} p\, n_z\, dS = \iiint_{\Omega} \rho g\, dV = \rho g\, V, $$ 其中 $V$ 是物体体积。于是 $$ F_z = -\rho g V. $$
类似地，对于 $F_x$，取 $\mathbf{A} = (p,0,0)$，则 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{n} = p\, n_x$，而 $\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} = 0$（压强与水平方向无关），故 $$ \iint_{S} p\, n_x\, dS = \iiint_{\Omega} 0\, dV = 0, $$ 所以 $F_x = 0$。同理 $F_y = 0$。
因此总压力为 $$ \mathbf{F} = (0,\,0,\, -\rho g V), $$ 负号表示方向竖直向下？注意我们定义 $z$ 轴向下为正，而 $F_z$ 为负，说明合力方向与 $z$ 轴正向相反，即竖直向上。其大小为 $\rho g V$，恰好等于物体排开液体所受的重力。
这就完成了阿基米德原理的推导。
难度：★★☆☆☆