同济高数 第11章 第11-7-1题
📝 题目
1．试对曲面 $\Sigma: z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 1, P=y^{2}, Q=x, R=z^{2}$ 验证斯托克斯公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们验证斯托克斯公式（Stokes' theorem） $$ \oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_{\Sigma} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy $$ 其中曲面 $\Sigma: z = x^{2} + y^{2}$，且投影区域 $x^{2}+y^{2} \le 1$，方向取上侧；边界曲线 $\Gamma$ 为 $z=1$ 平面上的圆 $x^{2}+y^{2}=1$，方向与曲面法向成右手系（即从上方看为逆时针方向）。
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### 第一步：计算曲面积分（右侧）
给定 $$ P = y^{2},\quad Q = x,\quad R = z^{2} $$ 计算旋度分量：
$$ \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial (z^{2})}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z} = 0 - 0 = 0 $$ $$ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial (y^{2})}{\partial z} - \frac{\partial (z^{2})}{\partial x} = 0 - 0 = 0 $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (y^{2})}{\partial y} = 1 - 2y $$
因此曲面积分化为： $$ \iint_{\Sigma} (1 - 2y)\, dx\,dy $$ 曲面方程为 $z = x^{2}+y^{2}$，投影到 $xy$ 平面为圆盘 $D: x^{2}+y^{2} \le 1$，方向向上，故 $dx\,dy$ 前的符号为正。
于是： $$ \iint_{\Sigma} (1 - 2y)\,dx\,dy = \iint_{D} (1 - 2y)\,dx\,dy $$
用极坐标：$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$，积分区域 $0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le 2\pi$。
$$ \begin{aligned} \iint_{D} (1 - 2y)\,dx\,dy &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - 2r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r - 2r^{2}\sin\theta)\, dr\, d\theta \end{aligned} $$
先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{1} r\, dr = \frac{1}{2},\quad \int_{0}^{1} 2r^{2}\, dr = \frac{2}{3} $$ 所以： $$ \iint_{D} (1-2y)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3}\sin\theta \right) d\theta $$ 因为 $\int_{0}^{2\pi} \sin\theta\, d\theta = 0$，所以结果为： $$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \pi $$
因此曲面积分 = $\pi$。
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### 第二步：计算曲线积分（左侧）
边界曲线 $\Gamma$：$x^{2}+y^{2}=1,\ z=1$，方向为逆时针（从上方看）。
参数化： $$ x = \cos t,\quad y = \sin t,\quad z = 1,\quad t: 0 \to 2\pi $$ 则： $$ dx = -\sin t\, dt,\quad dy = \cos t\, dt,\quad dz = 0 $$
代入： $$ P = y^{2} = \sin^{2}t,\quad Q = x = \cos t,\quad R = z^{2} = 1 $$ 所以： $$ \oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \int_{0}^{2\pi} \left[ \sin^{2}t (-\sin t) + \cos t (\cos t) + 1 \cdot 0 \right] dt $$ 即： $$ \int_{0}^{2\pi} \left( -\sin^{3}t + \cos^{2}t \right) dt $$
计算： $$ \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}t\, dt = \pi $$ 而 $\sin^{3}t$ 是奇函数且周期为 $2\pi$，在一个完整周期积分为 0，所以： $$ \int_{0}^{2\pi} -\sin^{3}t\, dt = 0 $$
因此曲线积分 = $\pi$。
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### 第三步：结论
曲面积分与曲线积分都等于 $\pi$，斯托克斯公式验证成立。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （计算量适中，但概念清晰，属于基本验证题）