同济高数 第12章 第12-2-6题

[AI解答]

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我们来逐一判定这些级数的收敛性（绝对收敛或条件收敛）。

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### （1） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}} $$

**第一步：判断是否条件收敛** 这是交错级数，令 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，显然 - $b_n > 0$ - $b_n$ 单调递减 - $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} b_n = 0}$

由莱布尼茨判别法，该级数收敛。

**第二步：判断是否绝对收敛** 考虑绝对值级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} $$ 这是 $p=\frac12<1$ 的 $p$-级数，发散。 因此原级数条件收敛。

结论：**条件收敛**。

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### （2） $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n-1}} $$

**第一步：绝对收敛性** 考察 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n-1}} $$ 用比值判别法： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/3^{n}}{n/3^{n-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{3n} = \frac13 < 1 $$ 所以绝对值级数收敛，原级数绝对收敛。

结论：**绝对收敛**。

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### （3） 级数为 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{n}} $$ 即 $$ \frac13 \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac12\right)^{n-1} $$ 这是公比 $r=-\frac12$ 的几何级数，$|r|=\frac12<1$，绝对收敛。

结论：**绝对收敛**。

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### （4） $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\ln (n+1)} $$

**第一步：条件收敛性判断** 令 $b_n = \frac{1}{\ln(n+1)}$，显然 - 正项 - 单调递减（因为分母递增） - $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} b_n = 0}$

由莱布尼茨判别法，原级数收敛。

**第二步：绝对收敛性** 考虑 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} $$ 由于当 $n$ 充分大时，$\ln(n+1) < n$，因此 $$ \frac{1}{\ln(n+1)} > \frac{1}{n} $$ 而调和级数发散，由比较判别法知绝对值级数发散。

结论：**条件收敛**。

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### （5） $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^{n^{2}}}{n!} $$

**第一步：绝对值级数** 考虑 $$ a_n = \frac{2^{n^{2}}}{n!} $$ 用比值判别法： $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n^2}} = \frac{2^{2n+1}}{n+1} $$ 当 $n\to\infty$，$\frac{2^{2n+1}}{n+1} \to \infty$，因此绝对值级数发散。

**第二步：通项是否趋于0** $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n^2}}{n!} = \infty $$ 因为分子增长远快于分母，通项不趋于0，原级数发散。

结论：**发散**。

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### 最终答案汇总： （1）条件收敛 （2）绝对收敛 （3）绝对收敛 （4）条件收敛 （5）发散

难度：★★★☆☆