同济高数 第12章 第12-3-1题

教材习题

📝 题目

1．下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

已知 $\alpha\gt 0$ ，若幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+\alpha)^{n}$ 在 $x=0$ 处发散，在 $x=-2 \alpha$ 处收敛，则幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-\alpha)^{n}$ 的收敛域为 ． （A）$[-2 \alpha, 0)$ （B）$[0,2 \alpha)$ （C）$(-2 \alpha, 0]$ （D）$(0,2 \alpha]$

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知 $\alpha > 0$，幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+\alpha)^{n}}$ 在 $x=0$ 处发散，在 $x=-2\alpha$ 处收敛。

首先，令 $t = x + \alpha$，则原级数变为 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}}$。 - 当 $x=0$ 时，$t = \alpha$，级数发散，说明 $t=\alpha$ 在收敛域之外。 - 当 $x=-2\alpha$ 时，$t = -\alpha$，级数收敛，说明 $t=-\alpha$ 在收敛域之内。

因此，对于级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}}$，其收敛区间关于 $t=0$ 对称，且已知 $t=-\alpha$ 收敛，$t=\alpha$ 发散，所以收敛半径 $R = \alpha$，且收敛域为 $(-\alpha, \alpha]$ 或 $[-\alpha, \alpha)$ 需由端点判断。已知 $t=-\alpha$ 收敛，$t=\alpha$ 发散，所以收敛域为 $[-\alpha, \alpha)$。

现在考虑第二个幂级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-\alpha)^{n}}$。 令 $u = x - \alpha$，则级数变为 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} u^{n}}$，与上面是同一形式，因此收敛半径也是 $R = \alpha$，且收敛域为 $u \in [-\alpha, \alpha)$。 代回 $u = x - \alpha$，得 $$ -\alpha \le x - \alpha < \alpha $$ 即 $$ 0 \le x < 2\alpha $$ 所以收敛域为 $[0, 2\alpha)$。

对照选项，正确答案为（B）。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：变量替换，将第一个幂级数化为标准形式
令 t = x + α，则原级数 ∑ a_n (x+α)^n 变为 ∑ a_n t^n。当 x=0 时，t=α，级数发散；当 x=-2α 时，t=-α，级数收敛。
公式：t = x + α
提示：注意变量替换后，原条件转化为关于 t 的级数的收敛性。
步骤 2/4
目标：确定关于 t 的级数的收敛域
由阿贝尔定理，幂级数 ∑ a_n t^n 的收敛区间关于原点对称。已知 t=-α 收敛，t=α 发散，故收敛半径 R=α，且收敛域为 [-α, α)。
公式：R = α，收敛域 [-α, α)
提示：端点收敛性由已知条件确定。
步骤 3/4
目标：变量替换，将第二个幂级数化为标准形式
令 u = x - α，则第二个级数 ∑ a_n (x-α)^n 变为 ∑ a_n u^n，与上一级数形式相同，故收敛半径也为 α，收敛域为 u ∈ [-α, α)。
公式：u = x - α
提示：注意第二个级数的变量替换。
步骤 4/4
目标：代回原变量，得到 x 的收敛域
由 u ∈ [-α, α) 得 -α ≤ x-α < α，解得 0 ≤ x < 2α，即 [0, 2α)。
公式：-α ≤ x-α < α ⇒ 0 ≤ x < 2α
提示：注意不等式方向。

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