同济高数 第12章 第12-3-3题

教材习题

📝 题目

3．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ ； （3）$\displaystyle x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(n+2) x^{n+3}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数。

首先考虑幂级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} = \frac{x}{1-x},\quad |x|<1. $$ 两边对 $x$ 逐项求导： $$ \frac{d}{dx}\left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}. $$ 右边即为所求级数，左边求导得 $$ \frac{d}{dx}\left( \frac{x}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}. $$ 因此和函数为 $$ S(x) = \frac{1}{(1-x)^2},\quad |x|<1. $$

**（2）** 求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ 的和函数。

考虑级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{4n} = \frac{x^4}{1-x^4},\quad |x|<1. $$ 两边乘以 $x$ 得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{4n+1} = \frac{x^5}{1-x^4}. $$ 对 $x$ 从 $0$ 到 $x$ 逐项积分： $$ \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} t^{4n} \, dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}. $$ 左边积分： $$ \int_0^x \frac{t^4}{1-t^4} \, dt = \int_0^x \left( -1 + \frac{1}{1-t^4} \right) dt = -x + \int_0^x \frac{1}{1-t^4} dt. $$ 而 $$ \frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-t^2} + \frac{1}{1+t^2} \right) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right) \cdot \frac{1}{2}? $$ 更准确分解： $$ \frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} + \frac{2}{1+t^2} \right). $$ 积分得 $$ \int_0^x \frac{1}{1-t^4} dt = \frac{1}{4}\left( -\ln|1-x| + \ln|1+x| + 2\arctan x \right). $$ 因此和函数为 $$ S(x) = -x + \frac{1}{4}\ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2}\arctan x,\quad |x|<1. $$

**（3）** 求 $\displaystyle x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots$ 的和函数。

这是 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}. $$ 考虑几何级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-2} = \frac{1}{1-x^2},\quad |x|<1. $$ 两边从 $0$ 到 $x$ 积分： $$ \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} t^{2n-2} dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}. $$ 左边积分： $$ \int_0^x \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}. $$ 因此和函数为 $$ S(x) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\quad |x|<1. $$

**（4）** 求 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(n+2) x^{n+3}$ 的和函数。

先改写： $$ \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+3} = x^3 \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n}. $$ 考虑 $$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+2} = \frac{x^3}{1-x},\quad |x|<1. $$ 两边求导： $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{1-x} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+1}. $$ 左边求导： $$ \frac{3x^2(1-x) - x^3(-1)}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 3x^3 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}. $$ 因此 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+1} = \frac{3x^2 - 2x^3}{(1-x)^2}. $$ 两边乘以 $x^2$ 得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) x^{n+3} = \frac{3x^4 - 2x^5}{(1-x)^2},\quad |x|<1. $$

难度评级：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求级数∑_{n=1}^∞ n x^{n-1}的和函数
考虑幂级数∑_{n=1}^∞ x^n = x/(1-x)，|x|<1。两边逐项求导得∑_{n=1}^∞ n x^{n-1} = d/dx (x/(1-x)) = 1/(1-x)^2。
公式：∑_{n=1}^∞ x^n = x/(1-x), |x|<1; d/dx (x/(1-x)) = 1/(1-x)^2
提示：利用已知几何级数求导
步骤 2/4
目标：求级数∑_{n=1}^∞ x^{4n+1}/(4n+1)的和函数
考虑∑_{n=1}^∞ x^{4n} = x^4/(1-x^4)，|x|<1。两边乘以x得∑_{n=1}^∞ x^{4n+1} = x^5/(1-x^4)。从0到x逐项积分得∑_{n=1}^∞ x^{4n+1}/(4n+1) = ∫_0^x t^4/(1-t^4) dt。计算积分：∫_0^x t^4/(1-t^4) dt = ∫_0^x (-1 + 1/(1-t^4)) dt = -x + ∫_0^x 1/(1-t^4) dt。利用部分分式1/(1-t^4)=1/4(1/(1-t)+1/(1+t)+2/(1+t^2))，积分得∫_0^x 1/(1-t^4) dt = 1/4 ln((1+x)/(1-x)) + 1/2 arctan x。因此和函数S(x) = -x + 1/4 ln((1+x)/(1-x)) + 1/2 arctan x，|x|<1。
公式：∑_{n=1}^∞ x^{4n} = x^4/(1-x^4); ∫_0^x 1/(1-t^4) dt = 1/4 ln((1+x)/(1-x)) + 1/2 arctan x
提示：先构造几何级数，再积分，注意部分分式分解
步骤 3/4
目标：求级数∑_{n=1}^∞ x^{2n-1}/(2n-1)的和函数
该级数为x + x^3/3 + x^5/5 + ...。考虑几何级数∑_{n=1}^∞ x^{2n-2} = 1/(1-x^2)，|x|<1。从0到x逐项积分得∑_{n=1}^∞ x^{2n-1}/(2n-1) = ∫_0^x 1/(1-t^2) dt = 1/2 ln((1+x)/(1-x))。
公式：∑_{n=1}^∞ x^{2n-2} = 1/(1-x^2); ∫_0^x 1/(1-t^2) dt = 1/2 ln((1+x)/(1-x))
提示：利用几何级数积分
步骤 4/4
目标：求级数∑_{n=1}^∞ (n+2) x^{n+3}的和函数
改写为x^3 ∑_{n=1}^∞ (n+2) x^n。考虑∑_{n=1}^∞ x^{n+2} = x^3/(1-x)，|x|<1。两边求导得∑_{n=1}^∞ (n+2) x^{n+1} = d/dx (x^3/(1-x)) = (3x^2-2x^3)/(1-x)^2。两边乘以x^2得∑_{n=1}^∞ (n+2) x^{n+3} = (3x^4-2x^5)/(1-x)^2。
公式：∑_{n=1}^∞ x^{n+2} = x^3/(1-x); d/dx (x^3/(1-x)) = (3x^2-2x^3)/(1-x)^2
提示：先提取公因子，再求导

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