同济高数 第12章 第12-4-4题
📝 题目
4．将函数 $f(x)=\cos x$ 展开成 $\displaystyle \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的幂级数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要将函数 $ f(x) = \cos x $ 展开成关于 $\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ 的幂级数，即展开成 $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left(x + \frac{\pi}{3}\right)^n $$ 的形式。我们可以利用三角恒等式和已知的 $\cos t$ 的麦克劳林展开。
令 $$ t = x + \frac{\pi}{3} $$ 则 $$ x = t - \frac{\pi}{3} $$ 于是 $$ f(x) = \cos\left(t - \frac{\pi}{3}\right) $$
利用余弦差角公式： $$ \cos\left(t - \frac{\pi}{3}\right) = \cos t \cos\frac{\pi}{3} + \sin t \sin\frac{\pi}{3} $$ 而 $$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac12,\quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 所以 $$ \cos\left(t - \frac{\pi}{3}\right) = \frac12 \cos t + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin t $$
现在将 $\cos t$ 和 $\sin t$ 分别展开为麦克劳林级数（关于 $t=0$）： $$ \cos t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n} $$ $$ \sin t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} t^{2n+1} $$
代入得： $$ f(x) = \frac12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} t^{2n+1} $$
将 $t = x + \frac{\pi}{3}$ 代回，得到展开式： $$ \boxed{\cos x = \frac12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(x + \frac{\pi}{3}\right)^{2n} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left(x + \frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}} $$ 该级数对所有实数 $x$ 收敛。
难度评级：★★☆☆☆ （主要用到三角恒等式和已知展开式，计算量小，思路直接）