同济高数 第12章 第12-5-1题

[AI解答]

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以下为利用函数的幂级数展开式求近似值的完整解答。

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### （1）$\ln 3$（误差不超过 0.0001）

利用 $\ln(1+x)$ 的展开式： $$ \ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n},\quad -1 < x \le 1 $$ 但 $\ln 3$ 不能直接代入 $x=2$，因为收敛区间限制。我们改用： $$ \ln 3 = \ln\frac{1+\frac12}{1-\frac12} = 2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1) \cdot 2^{2n+1}} $$ 因为： $$ \ln\frac{1+x}{1-x} = 2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1 $$ 取 $\displaystyle x = \frac12$，得： $$ \ln 3 = 2\left( \frac12 + \frac{1}{3\cdot 2^3} + \frac{1}{5\cdot 2^5} + \frac{1}{7\cdot 2^7} + \cdots \right) $$ 计算各项： - $n=0$：$\displaystyle \frac12 = 0.5$，乘以2得 $1$ - $n=1$：$\displaystyle \frac{1}{3\cdot 8} = \frac{1}{24} \approx 0.0416667$，乘以2得 $0.0833333$ - $n=2$：$\displaystyle \frac{1}{5\cdot 32} = \frac{1}{160} = 0.00625$，乘以2得 $0.0125$ - $n=3$：$\displaystyle \frac{1}{7\cdot 128} = \frac{1}{896} \approx 0.00111607$，乘以2得 $0.00223214$ - $n=4$：$\displaystyle \frac{1}{9\cdot 512} = \frac{1}{4608} \approx 0.000217014$，乘以2得 $0.000434028$ - $n=5$：$\displaystyle \frac{1}{11\cdot 2048} = \frac{1}{22528} \approx 0.000044388$，乘以2得 $0.000088776$

此时第5项贡献已小于0.0001，故取前5项： $$ \ln 3 \approx 1 + 0.0833333 + 0.0125 + 0.00223214 + 0.000434028 = 1.0984995 $$ 四舍五入得 $\ln 3 \approx 1.0985$，误差小于0.0001。

**答案：** $\boxed{1.0985}$

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### （2）$\sqrt{\mathrm{e}}$（误差不超过 0.001）

因为 $\sqrt{\mathrm{e}} = e^{1/2}$，利用指数函数展开： $$ e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$ 取 $x = 0.5$： $$ e^{0.5} = 1 + 0.5 + \frac{0.5^2}{2!} + \frac{0.5^3}{3!} + \frac{0.5^4}{4!} + \frac{0.5^5}{5!} + \cdots $$ 计算： - $n=0$：$1$ - $n=1$：$0.5$ - $n=2$：$\displaystyle \frac{0.25}{2}=0.125$ - $n=3$：$\displaystyle \frac{0.125}{6}\approx 0.0208333$ - $n=4$：$\displaystyle \frac{0.0625}{24}\approx 0.00260417$ - $n=5$：$\displaystyle \frac{0.03125}{120}\approx 0.000260417$

第5项已小于0.001，取前5项： $$ 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.00260417 = 1.6484375 $$ 四舍五入到三位小数得 $1.648$。

**答案：** $\boxed{1.648}$

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### （3）$\sqrt[9]{522}$（误差不超过 0.00001）

将 $522$ 写成 $512 + 10 = 2^9 + 10$，则： $$ \sqrt[9]{522} = 2 \left(1 + \frac{10}{512}\right)^{1/9} = 2\left(1 + \frac{5}{256}\right)^{1/9} $$ 利用二项展开式： $$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots,\quad |x|<1 $$ 这里 $\displaystyle \alpha = \frac19$，$\displaystyle x = \frac{5}{256} \approx 0.01953125$。

计算： - 第0项：$1$ - 第1项：$\displaystyle \frac19 \cdot 0.01953125 \approx 0.0021701389$ - 第2项：$\displaystyle \frac{\frac19 \cdot (-\frac89)}{2} \cdot (0.01953125)^2 = \frac{-8}{162} \cdot 0.0003814697 \approx -0.00001884$ - 第3项：$\displaystyle \frac{\frac19(-\frac89)(-\frac{17}{9})}{6} \cdot x^3$，系数为 $\displaystyle \frac{136}{4374} \approx 0.031085$，乘以 $x^3 \approx 7.45058\times 10^{-6}$ 得约 $2.316\times 10^{-7}$，可忽略。

因此： $$ (1+x)^{1/9} \approx 1 + 0.00217014 - 0.00001884 = 1.0021513 $$ 乘以2得： $$ \sqrt[9]{522} \approx 2.0043026 $$ 误差小于 $10^{-5}$。

**答案：** $\boxed{2.00430}$

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### （4）$\cos 2^{\circ}$（误差不超过 0.0001）

先将 $2^\circ$ 化为弧度： $$ 2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0.034906585 $$ 利用 $\cos x$ 的展开式： $$ \cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ 代入 $x=0.034906585$： - $n=0$：$1$ - $n=1$：$\displaystyle -\frac{x^2}{2!} = -\frac{0.00121847}{2} \approx -0.000609235$ - $n=2$：$\displaystyle \frac{x^4}{4!}$，$x^4 \approx 1.484\times 10^{-6}$，除以24得约 $6.18\times 10^{-8}$，可忽略。

因此： $$ \cos 2^\circ \approx 1 - 0.000609235 = 0.999390765 $$ 四舍五入到四位小数得 $0.9994$。

**答案：** $\boxed{0.9994}$

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**难度评级：** ★★☆☆☆ （主要考察常见函数的幂级数展开及余项估计，计算量适中，但思路直接。）