同济高数 第12章 第12-8-*4题
📝 题目
＊4．设 $u(t)$ 是周期为 $T$ 的周期函数．已知它的傅里叶级数的复数形式为（参阅本节例题）
$$ u(t)=\frac{h \tau}{T}+\frac{h}{\pi} \displaystyle{\sum}_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi \tau}{T} \mathrm{e}^{\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} \quad(-\infty\lt t\lt +\infty) $$
试写出 $u(t)$ 的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知复数形式的傅里叶级数为：
$$ u(t)=\frac{h \tau}{T}+\frac{h}{\pi} \displaystyle{\sum_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{\infty}} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi \tau}{T} \mathrm{e}^{\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} $$
要化为实数形式（三角形式），我们利用欧拉公式：
$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta $$
对于每个非零整数 $n$，将正负项配对。由于 $\sin\frac{n\pi\tau}{T}$ 是奇函数（关于 $n$），即：
$$ \sin\frac{(-n)\pi\tau}{T} = -\sin\frac{n\pi\tau}{T} $$
且 $\frac{1}{n}$ 也是奇函数，因此乘积 $\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi\tau}{T}$ 是偶函数（因为奇×奇=偶）。于是对于 $n>0$，有：
$$ \frac{1}{n}\sin\frac{n\pi\tau}{T} \mathrm{e}^{\frac{2n\pi t}{T}\mathrm{i}} + \frac{1}{-n}\sin\frac{-n\pi\tau}{T} \mathrm{e}^{-\frac{2n\pi t}{T}\mathrm{i}} = \frac{1}{n}\sin\frac{n\pi\tau}{T} \left( \mathrm{e}^{\frac{2n\pi t}{T}\mathrm{i}} + \mathrm{e}^{-\frac{2n\pi t}{T}\mathrm{i}} \right) $$
而
$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} = 2\cos\alpha $$
因此，对于每个 $n>0$，两项之和为：
$$ \frac{2}{n}\sin\frac{n\pi\tau}{T} \cos\frac{2n\pi t}{T} $$
于是原级数可写为：
$$ u(t) = \frac{h\tau}{T} + \frac{h}{\pi} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{2}{n}\sin\frac{n\pi\tau}{T} \cos\frac{2n\pi t}{T} $$
即：
$$ u(t) = \frac{h\tau}{T} + \frac{2h}{\pi} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \frac{1}{n} \sin\frac{n\pi\tau}{T} \cos\frac{2n\pi t}{T} $$
这就是傅里叶级数的实数形式（三角形式），其中常数项为 $\frac{h\tau}{T}$，余弦项系数为 $\frac{2h}{n\pi}\sin\frac{n\pi\tau}{T}$，没有正弦项（因为原函数是偶函数形式展开）。
难度：★★☆☆☆