同济高数 第8章 第8-1-12题
📝 题目
12．求点 $M(4,-3,5)$ 到各坐标轴的距离．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要求点 $M(4,-3,5)$ 到各坐标轴的距离，需分别计算到 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的距离。 点到坐标轴的距离定义为：点到该轴上任一点的最短距离，即垂直于该轴的垂线长度。 设点 $M(x_0, y_0, z_0)$，则：
1. 到 $x$ 轴的距离为 $\displaystyle{\sqrt{y_0^2 + z_0^2}}$ 2. 到 $y$ 轴的距离为 $\displaystyle{\sqrt{x_0^2 + z_0^2}}$ 3. 到 $z$ 轴的距离为 $\displaystyle{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}$
代入 $x_0 = 4,\ y_0 = -3,\ z_0 = 5$：
- 到 $x$ 轴距离： $$ d_x = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} $$
- 到 $y$ 轴距离： $$ d_y = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} $$
- 到 $z$ 轴距离： $$ d_z = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$
因此，点 $M(4,-3,5)$ 到各坐标轴的距离分别为： 到 $x$ 轴：$\sqrt{34}$，到 $y$ 轴：$\sqrt{41}$，到 $z$ 轴：$5$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确点到坐标轴距离的定义
点到坐标轴的距离定义为点到该轴上任一点的最短距离，即垂直于该轴的垂线长度。
提示：注意是垂线长度，不是到原点的距离。
步骤 2/6
目标：推导点到x轴的距离公式
设点M(x0,y0,z0)，到x轴的距离等于点M在yOz平面上的投影点到原点的距离，即√(y0²+z0²)。
公式：d_x = √(y0² + z0²)
提示：x轴上的点坐标为(x,0,0)，距离公式由两点间距离公式化简得到。
步骤 3/6
目标：推导点到y轴的距离公式
类似地，到y轴的距离等于点M在xOz平面上的投影点到原点的距离，即√(x0²+z0²)。
公式：d_y = √(x0² + z0²)
步骤 4/6
目标：推导点到z轴的距离公式
到z轴的距离等于点M在xOy平面上的投影点到原点的距离，即√(x0²+y0²)。
公式：d_z = √(x0² + y0²)
步骤 5/6
目标：代入点M(4,-3,5)的坐标计算
代入x0=4, y0=-3, z0=5：
到x轴距离：d_x = √((-3)²+5²) = √(9+25) = √34
到y轴距离：d_y = √(4²+5²) = √(16+25) = √41
到z轴距离：d_z = √(4²+(-3)²) = √(16+9) = √25 = 5
提示：注意平方时负号消失。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
点M(4,-3,5)到x轴、y轴、z轴的距离分别为√34、√41、5。
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