同济高数 第8章 第8-1-14题
📝 题目
14．试证明以 $A(4,1,9), B(10,-1,6), C(2,4,3)$ 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，需要验证两条边长相等且两边垂直。 设 $$ A(4,1,9),\quad B(10,-1,6),\quad C(2,4,3) $$ 首先计算三边的向量表示：
$$ \overrightarrow{AB} = (10-4,\,-1-1,\,6-9) = (6,\,-2,\,-3) $$ $$ \overrightarrow{AC} = (2-4,\,4-1,\,3-9) = (-2,\,3,\,-6) $$ $$ \overrightarrow{BC} = (2-10,\,4-(-1),\,3-6) = (-8,\,5,\,-3) $$
然后计算各边的长度平方：
$$ |AB|^2 = 6^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = 36 + 4 + 9 = 49 $$ $$ |AC|^2 = (-2)^2 + 3^2 + (-6)^2 = 4 + 9 + 36 = 49 $$ $$ |BC|^2 = (-8)^2 + 5^2 + (-3)^2 = 64 + 25 + 9 = 98 $$
可见 $$ |AB|^2 = |AC|^2 = 49 \quad\Rightarrow\quad |AB| = |AC| = 7 $$ 所以两边相等，等腰成立。
再验证直角： 计算 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的点积： $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (6)(-2) + (-2)(3) + (-3)(-6) = -12 - 6 + 18 = 0 $$ 点积为 0，说明 $AB \perp AC$，即 $\angle A = 90^\circ$。
因此三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形。
难度：★☆☆☆☆