同济高数 第8章 第8-1-2题

[AI解答]

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**题目**：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。

**证明**：

设四边形为 $ABCD$，其顶点按顺序为 $A, B, C, D$，对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$。

由题意，对角线互相平分，即 $O$ 是 $AC$ 的中点，也是 $BD$ 的中点。用向量表示，设 $O$ 为原点，则：

$$ \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{OC} = -\vec{OA} $$ $$ \vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{OD} = -\vec{OB} $$

现在要证明四边形 $ABCD$ 是平行四边形，即证明一组对边平行且相等，例如 $\vec{AB} = \vec{DC}$。

计算向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{DC}$：

$$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $$ $$ \vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} $$

将 $\vec{OC} = -\vec{OA}$ 和 $\vec{OD} = -\vec{OB}$ 代入：

$$ \vec{DC} = (-\vec{OA}) - (-\vec{OB}) = -\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA} $$

因此得到：

$$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{DC} $$

所以 $\vec{AB} = \vec{DC}$，即边 $AB$ 与边 $DC$ 平行且相等，故四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

证毕。