同济高数 第8章 第8-2-3题
📝 题目
3．已知 $M_{1}(1,-1,2), M_{2}(3,3,1)$ 和 $M_{3}(3,1,3)$ ．求与 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{2} M_{3}}$ 同时垂直的单位向量．
💡 答案解析
[AI解答]
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**步骤1：计算向量** 首先求出两个向量： $$ \overrightarrow{M_1 M_2} = (3-1,\ 3-(-1),\ 1-2) = (2,4,-1) $$ $$ \overrightarrow{M_2 M_3} = (3-3,\ 1-3,\ 3-1) = (0,-2,2) $$
**步骤2：求同时垂直于两向量的向量** 取它们的叉积： $$ \vec{n} = \overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_2 M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \end{vmatrix} $$ 计算行列式： $$ \vec{n} = \mathbf{i}(4\cdot 2 - (-1)(-2)) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - (-1)\cdot 0) + \mathbf{k}(2\cdot(-2) - 4\cdot 0) $$ $$ = \mathbf{i}(8 - 2) - \mathbf{j}(4 - 0) + \mathbf{k}(-4 - 0) $$ $$ = (6, -4, -4) $$
**步骤3：单位化** 该向量的模： $$ |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} $$ 所以单位向量为： $$ \pm \frac{1}{2\sqrt{17}}(6, -4, -4) = \pm \left(\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}\right) $$
**最终答案**： $$ \boxed{\pm \left(\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}\right)} $$