同济高数 第8章 第8-2-6题
📝 题目
6．求向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,4)$ 在向量 $\boldsymbol{b}=(2,2,1)$ 上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：求向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,4)$ 在向量 $\boldsymbol{b}=(2,2,1)$ 上的投影。
**解**： 向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影是一个标量（有正负），计算公式为 $$ \text{Proj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{b}\|}. $$
第一步，计算点积： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 \times 2 + (-3) \times 2 + 4 \times 1 = 8 - 6 + 4 = 6. $$
第二步，计算 $\boldsymbol{b}$ 的模长： $$ \|\boldsymbol{b}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3. $$
第三步，代入公式： $$ \text{Proj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{6}{3} = 2. $$
因此，向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影为 $2$。
$$ \boxed{2} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算向量a和b的点积
a·b = 4×2 + (-3)×2 + 4×1 = 8 - 6 + 4 = 6
公式：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3
提示：注意符号，负3乘以2得负6
步骤 2/3
目标：计算向量b的模长
||b|| = √(2² + 2² + 1²) = √(4+4+1) = √9 = 3
公式：||b|| = √(b1² + b2² + b3²)
提示：平方和开方
步骤 3/3
目标：代入投影公式求解
Proj_b a = (a·b) / ||b|| = 6 / 3 = 2
公式：Proj_b a = (a·b) / ||b||
提示：投影是标量，可正可负
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