同济高数 第8章 第8-2-8题

[AI解答]

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**题目**：试用向量证明直径所对的圆周角是直角。

**证明**：

设圆的圆心为 $O$，直径为 $AB$，$C$ 为圆上任意一点（不同于 $A, B$）。 要证明 $\angle ACB = 90^\circ$，即证明向量 $\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{CB}$ 垂直。

以圆心 $O$ 为坐标原点建立向量关系。设 $$ \overrightarrow{OA} = \vec{a}, \quad \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \quad \overrightarrow{OC} = \vec{c}. $$ 因为 $AB$ 是直径，$O$ 是圆心，所以 $O$ 是 $AB$ 的中点，因此 $$ \vec{b} = -\vec{a}. $$ 又因为 $A, B, C$ 都在同一个圆上，半径相等，所以 $$ |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R. $$

现在考虑向量 $\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{CB}$： $$ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \vec{a} - \vec{c}, $$ $$ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \vec{b} - \vec{c} = -\vec{a} - \vec{c}. $$

计算它们的数量积： $$ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (-\vec{a} - \vec{c}) = -\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{c}. $$ 由于 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$，中间两项抵消，于是 $$ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -|\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2. $$ 因为 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = R$，所以 $$ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -R^2 + R^2 = 0. $$

数量积为零，说明 $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$，即 $\angle ACB = 90^\circ$。 因此，直径所对的圆周角是直角。证毕。