同济高数 第8章 第8-2-*12题

教材习题

📝 题目

＊12．已知 $\boldsymbol{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right), \boldsymbol{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ ，试利用行列式的性质证明：

$$ (a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b . $$

💡 答案解析

[AI解答]

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我们已知向量 $\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z),\ \boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z),\ \boldsymbol{c}=(c_x,c_y,c_z)$。

混合积的表达式为： $$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}. $$

同理， $$ (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = \det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}. $$

由行列式的性质：交换两行，行列式变号；交换两次，行列式不变。 将第一个行列式的第一行与第二行交换，得： $$ \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ a_x & a_y & a_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}. $$ 再将第二行与第三行交换： $$ = - \left( -\det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix} \right) = \det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}. $$ 因此 $$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}. $$

同理，再交换一次行序可得第三个等式： $$ (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}. $$

所以三个混合积相等，即 $$ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}. $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：写出混合积的行列式表示
根据混合积的定义，$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}$，类似地，$(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a} = \det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}$。
公式：$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}$
提示：混合积等于以三个向量为行（或列）的行列式。
步骤 2/3
目标：利用行列式性质证明第一个等式
将第一个行列式的第一行与第二行交换，得 $\det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix} = -\det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ a_x & a_y & a_z \\ c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}$。再将第二行与第三行交换，得 $= -\left(-\det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}\right) = \det\begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}$。因此 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a}$。
公式：交换两行，行列式变号
提示：连续交换两次行，行列式不变。
步骤 3/3
目标：证明第二个等式
类似地，将 $(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a}$ 的行列式第一行与第二行交换，再与第三行交换，可得 $(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}$。
提示：循环置换向量顺序，混合积不变。

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