同济高数 第8章 第8-4-2题
📝 题目
2．求过两点 $M_{1}(3,-2,1)$ 和 $M_{2}(-1,0,2)$ 的直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知空间两点 $M_{1}(3,-2,1)$ 和 $M_{2}(-1,0,2)$，过这两点的直线方向向量为：
$$ \vec{s} = \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (-1-3,\; 0-(-2),\; 2-1) = (-4,\; 2,\; 1) $$
取 $M_{1}(3,-2,1)$ 为直线上一点，则直线的对称式（点向式）方程为：
$$ \frac{x - 3}{-4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} $$
也可以写为参数方程形式：
$$ \begin{cases} x = 3 - 4t, \$$2pt] y = -2 + 2t, \$$2pt] z = 1 + t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$
两种形式均可表示所求直线。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求方向向量
计算从点M1到M2的向量：(-1-3, 0-(-2), 2-1) = (-4, 2, 1)
公式：方向向量 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)
提示：注意坐标对应相减
步骤 2/3
目标：写出对称式方程
取M1(3,-2,1)为直线上一点，方向向量为(-4,2,1)，代入点向式方程：
(x-3)/(-4) = (y+2)/2 = (z-1)/1
公式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
提示：分母为方向向量分量，分子为坐标差
步骤 3/3
目标：写出参数方程（可选）
令对称式等于t，得：x=3-4t, y=-2+2t, z=1+t
公式：x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct
提示：t为参数，可取任意实数
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。