同济高数 第8章 第8-4-5题
📝 题目
5．求直线 $\left\{\begin{array}{l}5 x-3 y+3 z-9=0, \\ 3 x-2 y+z-1=0\end{array}\right.$ 与直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y-z+23=0, \\ 3 x+8 y+z-18=0\end{array}\right.$ 的夹角的余弦．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：将两条直线转化为对称式方程，求出方向向量。**
对于第一条直线： $$ \begin{cases} 5x - 3y + 3z - 9 = 0, \\ 3x - 2y + z - 1 = 0. \end{cases} $$ 两平面的法向量分别为： $$ \vec{n}_1 = (5, -3, 3), \quad \vec{n}_2 = (3, -2, 1). $$ 直线的方向向量 $\vec{s}_1$ 垂直于两个法向量，因此： $$ \vec{s}_1 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}. $$ 计算： $$ \vec{s}_1 = \mathbf{i}((-3)\cdot 1 - 3\cdot(-2)) - \mathbf{j}(5\cdot 1 - 3\cdot 3) + \mathbf{k}(5\cdot(-2) - (-3)\cdot 3) $$ $$ = \mathbf{i}(-3 + 6) - \mathbf{j}(5 - 9) + \mathbf{k}(-10 + 9) $$ $$ = (3, 4, -1). $$
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**第二步：求第二条直线的方向向量。**
第二条直线： $$ \begin{cases} 2x + 2y - z + 23 = 0, \\ 3x + 8y + z - 18 = 0. \end{cases} $$ 法向量分别为： $$ \vec{n}_3 = (2, 2, -1), \quad \vec{n}_4 = (3, 8, 1). $$ 方向向量： $$ \vec{s}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_4 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix}. $$ 计算： $$ \vec{s}_2 = \mathbf{i}(2\cdot 1 - (-1)\cdot 8) - \mathbf{j}(2\cdot 1 - (-1)\cdot 3) + \mathbf{k}(2\cdot 8 - 2\cdot 3) $$ $$ = \mathbf{i}(2 + 8) - \mathbf{j}(2 + 3) + \mathbf{k}(16 - 6) $$ $$ = (10, -5, 10). $$ 可约去公因子5，得方向向量为 $(2, -1, 2)$。
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**第三步：计算两直线夹角的余弦。**
两直线夹角 $\theta$ 的余弦公式： $$ \cos\theta = \frac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1|\,|\vec{s}_2|}. $$ 计算点积： $$ \vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2 = (3, 4, -1) \cdot (2, -1, 2) = 3\cdot 2 + 4\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 = 6 - 4 - 2 = 0. $$ 因此： $$ \cos\theta = 0. $$
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**最终答案：** $$ \boxed{0} $$