同济高数 第8章 第8-5-11题
📝 题目
11．画出下列方程所表示的曲面： （1） $4 x^{2}+y^{2}-z^{2}=4$ ； （2）$x^{2}-y^{2}-4 z^{2}=4$ ； （3）$\displaystyle \frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 方程 $$ 4 x^{2}+y^{2}-z^{2}=4 $$ 两边同时除以 4，得 $$ x^{2}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}=1 $$ 这是**单叶双曲面**（绕 $z$ 轴方向开口），标准形式为 $$ \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}-\frac{z^{2}}{2^{2}}=1 $$ 在 $z=0$ 截口为椭圆 $\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$，在 $x=0$ 截口为双曲线 $\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}=1$，在 $y=0$ 截口为双曲线 $x^{2}-\frac{z^{2}}{4}=1$。
**（2）** 方程 $$ x^{2}-y^{2}-4 z^{2}=4 $$ 两边除以 4，得 $$ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}=1 $$ 这是**双叶双曲面**（沿 $x$ 轴方向开口），标准形式为 $$ \frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}-\frac{z^{2}}{1^{2}}=1 $$ 在 $x=\pm 2$ 处截口为点，当 $|x|>2$ 时截口为椭圆，在 $x=0$ 无实图形，在 $y=0$ 截口为双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-z^{2}=1$，在 $z=0$ 截口为双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$。
**（3）** 方程 $$ \frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9} $$ 可改写为 $$ z=3\left(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\right) $$ 这是**椭圆抛物面**，顶点在原点 $(0,0,0)$，开口向上（沿 $z$ 轴正向）。 在 $z=c>0$ 处截口为椭圆 $$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{c}{3} $$ 在 $x=0$ 截口为抛物线 $z=\frac{y^{2}}{3}$，在 $y=0$ 截口为抛物线 $z=\frac{3x^{2}}{4}$。