同济高数 第8章 第8-5-5题
📝 题目
5．将 $z O x$ 坐标面上的抛物线 $z^{2}=5 x$ 绕 $x$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：明确旋转曲面的生成条件** 已知 $zOx$ 坐标面上的曲线为 $$ z^{2} = 5x $$ 绕 $x$ 轴旋转。旋转时，$x$ 坐标保持不变，而 $y$ 和 $z$ 坐标满足到 $x$ 轴距离的平方关系： 旋转前曲线上任一点 $(x, 0, z)$ 到 $x$ 轴的距离平方为 $z^2$； 旋转后该点形成的圆上任意点 $(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离平方为 $y^2 + z^2$。
**步骤2：代入旋转不变关系** 旋转过程中，距离 $x$ 轴的距离平方保持不变，即 $$ y^{2} + z^{2} = (\text{原曲线上对应点的 } z \text{ 坐标})^2 $$ 而原曲线方程为 $z^{2} = 5x$，因此将 $z^2$ 替换为 $y^2 + z^2$，得到 $$ y^{2} + z^{2} = 5x $$
**步骤3：写出最终方程** 整理得旋转曲面方程为 $$ \boxed{y^{2} + z^{2} = 5x} $$ 这是一个旋转抛物面，顶点在原点，开口沿 $x$ 轴正向。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确旋转曲面的生成条件
已知 zOx 坐标面上的曲线为 z^2 = 5x，绕 x 轴旋转。旋转时，x 坐标保持不变，而 y 和 z 坐标满足到 x 轴距离的平方关系：旋转前曲线上任一点 (x, 0, z) 到 x 轴的距离平方为 z^2；旋转后该点形成的圆上任意点 (x, y, z) 到 x 轴的距离平方为 y^2 + z^2。
公式：距离平方：z^2 → y^2 + z^2
提示：绕 x 轴旋转时，x 坐标不变，y 和 z 坐标满足 y^2 + z^2 等于原曲线中 z^2 的表达式。
步骤 2/3
目标：代入旋转不变关系
旋转过程中，距离 x 轴的距离平方保持不变，即 y^2 + z^2 = (原曲线上对应点的 z 坐标)^2。原曲线方程为 z^2 = 5x，因此将 z^2 替换为 y^2 + z^2，得到 y^2 + z^2 = 5x。
公式：y^2 + z^2 = 5x
提示：注意替换时，原曲线中的 z^2 应整体替换为 y^2 + z^2。
步骤 3/3
目标：写出最终方程
整理得旋转曲面方程为 y^2 + z^2 = 5x，这是一个旋转抛物面，顶点在原点，开口沿 x 轴正向。
公式：y^2 + z^2 = 5x
提示：最终方程中不含交叉项，且 x 为一次项，y、z 为二次项。
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