同济高数 第8章 第8-5-8题
📝 题目
8．画出下列各方程所表示的曲面： （1）$\displaystyle \left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ ； （2）$\displaystyle -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ； （3）$\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1$ ； （4）$y^{2}-z=0$ ； （5）$z=2-x^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各方程所表示曲面的解析与画法说明。
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### （1） 方程： $$ \left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2} $$ 这是一个在 $xy$ 平面上的圆方程，圆心在 $\left(\frac{a}{2}, 0\right)$，半径为 $\frac{a}{2}$。 由于方程中没有 $z$，在空间中表示一个**圆柱面**，母线平行于 $z$ 轴。 即：在 $xy$ 平面内是一个圆，沿 $z$ 方向无限延伸。
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### （2） 方程： $$ -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 $$ 这是 $xy$ 平面上的双曲线方程，实轴沿 $y$ 轴，虚轴沿 $x$ 轴。 缺少 $z$，所以在空间中表示一个**双曲柱面**，母线平行于 $z$ 轴。
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### （3） 方程： $$ \frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1 $$ 这是 $xz$ 平面上的椭圆方程，长轴在 $x$ 方向（半长轴 3），短轴在 $z$ 方向（半短轴 2）。 缺少 $y$，所以在空间中表示一个**椭圆柱面**，母线平行于 $y$ 轴。
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### （4） 方程： $$ y^{2}-z=0 \quad \Rightarrow \quad z = y^{2} $$ 在 $yz$ 平面内是一条抛物线，开口朝 $z$ 正方向。 缺少 $x$，所以在空间中表示一个**抛物柱面**，母线平行于 $x$ 轴。
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### （5） 方程： $$ z = 2 - x^{2} $$ 在 $xz$ 平面内是一条开口向下的抛物线，顶点在 $(0,2)$。 缺少 $y$，所以在空间中表示一个**抛物柱面**，母线平行于 $y$ 轴。
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**总结**： 所有方程都缺少一个变量，因此都是**柱面**，其准线为对应坐标平面上的二次曲线，母线平行于缺失变量对应的坐标轴。