同济高数 第8章 第8-6-2题
📝 题目
2．指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形： （1）$\left\{\begin{array}{l}y=5 x+1, \\ y=2 x-3 ;\end{array}\right.$ （2）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, \\ y=3 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 方程组： $$ \left\{\begin{array}{l} y=5x+1, \\ y=2x-3. \end{array}\right. $$
- **平面解析几何中**： 两个方程分别表示两条直线。方程组要求同时满足两个方程，即求两条直线的交点。因为两条直线斜率不同（5 和 2），所以它们相交于唯一一点。解方程组得： $$ 5x+1 = 2x-3 \quad\Rightarrow\quad 3x = -4 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{4}{3},\quad y = 5\left(-\frac{4}{3}\right)+1 = -\frac{20}{3}+1 = -\frac{17}{3}. $$ 因此在平面中表示一个点 $\left(-\frac{4}{3}, -\frac{17}{3}\right)$。
- **空间解析几何中**： 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，方程 $y=5x+1$ 表示一个平面（不含 $z$，即 $z$ 任意），同样 $y=2x-3$ 也表示一个平面。两个平面相交于一条直线，该直线的方向同时垂直于两个平面的法向量，且满足两个方程。因此空间中的图形是一条直线。
**（2）** 方程组： $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, \\ y=3 . \end{array}\right. $$
- **平面解析几何中**： 第一个方程表示一个椭圆，中心在原点，长轴在 $y$ 轴（半长轴 3），短轴在 $x$ 轴（半短轴 2）。第二个方程是水平直线 $y=3$。将 $y=3$ 代入椭圆方程得： $$ \frac{x^{2}}{4} + \frac{9}{9} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{4} + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0. $$ 因此交点为 $(0,3)$，即直线与椭圆相切于上顶点。所以在平面中表示一个点。
- **空间解析几何中**： 第一个方程 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 在空间中表示一个椭圆柱面，母线平行于 $z$ 轴。第二个方程 $y=3$ 表示一个平面（平行于 $xOz$ 平面）。两者的交线是：在 $y=3$ 的平面上，且满足 $\frac{x^{2}}{4}+1=1$，即 $x=0$，而 $z$ 可以任意取值。因此交线是一条直线：$x=0,\ y=3$（平行于 $z$ 轴）。所以在空间中表示一条直线。