同济高数 第9章 第9-4-11题
📝 题目
11．设函数 $f(x, y, z)$ 满足 $f(t x, t y, t z)=t^{n} f(x, y, z)$（ $t$ 为任意实数），则称函数 $f$ 为 $n$ 次齐次函数．证明：$n$ 次齐次函数 $f$ 满足关系式
$$ x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}=n f(x, y, z), $$
其中函数 $f$ 具有一阶连续偏导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知函数 $ f(x, y, z) $ 是 $ n $ 次齐次函数，即对任意实数 $ t $，有恒等式
$$ f(tx, ty, tz) = t^n f(x, y, z). $$
由于 $ f $ 具有一阶连续偏导数，我们可以对等式两边关于 $ t $ 求导。
令 $ u = tx $, $ v = ty $, $ w = tz $，则左边对 $ t $ 求导（使用链式法则）得：
$$ \frac{d}{dt} f(tx, ty, tz) = f_x(tx, ty, tz) \cdot x + f_y(tx, ty, tz) \cdot y + f_z(tx, ty, tz) \cdot z. $$
右边对 $ t $ 求导得：
$$ \frac{d}{dt} \big( t^n f(x, y, z) \big) = n t^{n-1} f(x, y, z). $$
因此，对任意 $ t $ 有：
$$ x f_x(tx, ty, tz) + y f_y(tx, ty, tz) + z f_z(tx, ty, tz) = n t^{n-1} f(x, y, z). $$
特别地，令 $ t = 1 $，则得到：
$$ x f_x(x, y, z) + y f_y(x, y, z) + z f_z(x, y, z) = n f(x, y, z). $$
这就是要证明的欧拉齐次函数定理。
难度：★★☆☆☆