同济高数 第9章 第9-4-3题

教材习题

📝 题目

3．设 $z=\mathrm{e}^{x-2 y}$ ，而 $x=\sin t, y=t^{3}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

已知 $ z = e^{x - 2y} $，且 $ x = \sin t $，$ y = t^3 $。 要求 $\frac{dz}{dt}$，这是复合函数求导，使用链式法则：

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}. $$

先求偏导数：

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{x - 2y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x - 2y} \cdot (-2) = -2 e^{x - 2y}. $$

再求 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数：

$$ \frac{dx}{dt} = \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2. $$

代入链式法则：

$$ \frac{dz}{dt} = e^{x - 2y} \cdot \cos t + (-2 e^{x - 2y}) \cdot 3t^2 = e^{x - 2y} (\cos t - 6t^2). $$

最后将 $x = \sin t$，$y = t^3$ 代回：

$$ \frac{dz}{dt} = e^{\sin t - 2t^3} (\cos t - 6t^2). $$

因此结果为：

$$ \boxed{e^{\sin t - 2t^3} (\cos t - 6t^2)}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：识别复合函数结构
z是x和y的函数，而x和y又是t的函数，因此z是t的复合函数。
提示：注意变量之间的依赖关系。
步骤 2/6
目标：应用链式法则
根据链式法则，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)。
公式：\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
提示：链式法则是处理复合函数求导的关键。
步骤 3/6
目标：计算偏导数
∂z/∂x = e^(x-2y)，∂z/∂y = e^(x-2y) * (-2) = -2e^(x-2y)。
公式：\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x-2y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2e^{x-2y}
提示：对y求偏导时，将x视为常数。
步骤 4/6
目标：计算导数
dx/dt = cos t，dy/dt = 3t^2。
公式：\frac{dx}{dt} = \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2
提示：基本导数公式。
步骤 5/6
目标：代入链式法则
dz/dt = e^(x-2y) * cos t + (-2e^(x-2y)) * 3t^2 = e^(x-2y)(cos t - 6t^2)。
公式：\frac{dz}{dt} = e^{x-2y}(\cos t - 6t^2)
提示：合并同类项。
步骤 6/6
目标：代回x和y的表达式
将x=sin t, y=t^3代入，得dz/dt = e^(sin t - 2t^3)(cos t - 6t^2)。
公式：\frac{dz}{dt} = e^{\sin t - 2t^3}(\cos t - 6t^2)
提示：最终结果用t表示。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第9-4-2题 返回列表 第9-4-4题 →