同济高数 第9章 第9-4-5题
📝 题目
5．设 $z=\arctan (x y)$ ，而 $y=\mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ z = \arctan(xy) $，且 $ y = e^x $，要求 $\frac{dz}{dx}$。 这是复合函数求导，将 $ y $ 代入 $ z $ 中，得 $$ z = \arctan(x e^x) $$ 然后直接对 $ x $ 求导： $$ \frac{dz}{dx} = \frac{1}{1 + (x e^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x e^x) $$ 而 $$ \frac{d}{dx}(x e^x) = e^x + x e^x = e^x(1+x) $$ 因此 $$ \frac{dz}{dx} = \frac{e^x(1+x)}{1 + x^2 e^{2x}} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将y代入z，得到z关于x的显式表达式
已知 y = e^x，代入 z = arctan(xy)，得 z = arctan(x e^x)。
公式：z = arctan(x e^x)
提示：注意复合函数的结构，外层是反正切，内层是x乘以e^x。
步骤 2/4
目标：对z关于x求导
使用链式法则：dz/dx = 1/(1+(x e^x)^2) * d/dx (x e^x)。
公式：d/dx arctan(u) = 1/(1+u^2) * du/dx
提示：不要忘记对内层函数求导。
步骤 3/4
目标：计算内层函数的导数
d/dx (x e^x) = e^x + x e^x = e^x (1+x)。
公式：乘积法则：d/dx (x e^x) = 1*e^x + x*e^x
提示：注意乘积法则的应用。
步骤 4/4
目标：合并结果
将导数代入，得到 dz/dx = e^x (1+x) / (1 + x^2 e^{2x})。
公式：dz/dx = e^x (1+x) / (1 + x^2 e^{2x})
提示：最终结果可以化简，但通常保留此形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。