同济高数 第9章 第9-6-14题
📝 题目
14．试证曲面 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a} \quad(a\gt 0)$ 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $a$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明曲面 $$ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a} \quad (a>0) $$ 上任意一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面在三个坐标轴上的截距之和等于常数 $a$。
**第一步：写出曲面方程并求梯度** 令 $$ F(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}=0 $$ 则梯度为 $$ \nabla F = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}},\ \frac{1}{2\sqrt{y}},\ \frac{1}{2\sqrt{z}} \right) $$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量可取为 $$ \mathbf{n} = \left( \frac{1}{\sqrt{x_0}},\ \frac{1}{\sqrt{y_0}},\ \frac{1}{\sqrt{z_0}} \right) $$ （常数因子 $\frac12$ 可省略，不影响切平面方程）。
**第二步：写出切平面方程** 切平面方程为 $$ \frac{1}{\sqrt{x_0}}(x-x_0)+\frac{1}{\sqrt{y_0}}(y-y_0)+\frac{1}{\sqrt{z_0}}(z-z_0)=0 $$ 整理得 $$ \frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0} $$ 由曲面方程知 $$ \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a} $$ 所以切平面方程为 $$ \frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a} $$
**第三步：求截距** 令 $y=0,z=0$，得 $x$ 轴截距 $$ X = \sqrt{a}\,\sqrt{x_0} $$ 同理 $$ Y = \sqrt{a}\,\sqrt{y_0},\quad Z = \sqrt{a}\,\sqrt{z_0} $$
**第四步：计算截距之和** $$ X+Y+Z = \sqrt{a}\left( \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0} \right) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a $$ 因此截距之和恒为常数 $a$，与点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的选择无关。证毕。
难度：★★☆☆☆