同济高数 第9章 第9-8-13题
📝 题目
13．形状为椭球 $4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2} \leqslant 16$ 的空间探测器进人地球大气层，其表面开始受热， 1 h 后在探测器的点 $(x, y, z)$ 处的温度 $T=8 x^{2}+4 y z-16 z+600$ ，求探测器表面最热的点．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求椭球面 $$ 4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=16 $$ 上温度函数 $$ T(x,y,z)=8x^{2}+4yz-16z+600 $$ 的最大值点。这是一个条件极值问题，用拉格朗日乘数法。
**第一步：构造拉格朗日函数** 约束条件为 $$ g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-16=0 $$ 令 $$ \mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=8x^{2}+4yz-16z+600+\lambda(4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-16) $$
**第二步：求偏导并令为零** $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=16x+8\lambda x=0 \quad\Rightarrow\quad x(16+8\lambda)=0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=4z+2\lambda y=0 \quad\Rightarrow\quad 4z+2\lambda y=0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=4y-16+8\lambda z=0 \quad\Rightarrow\quad 4y-16+8\lambda z=0 $$ 以及约束条件 $$ 4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=16 $$
**第三步：分类讨论**
由第一个方程： 若 $x=0$ 或 $\lambda=-2$。
- **情况1：** $x=0$ 则约束条件变为 $$ y^{2}+4z^{2}=16 $$ 方程组剩下 $$ 4z+2\lambda y=0 \quad (1) $$ $$ 4y-16+8\lambda z=0 \quad (2) $$ 由(1)得 $2\lambda y = -4z \Rightarrow \lambda = -\frac{2z}{y}$（若 $y\neq0$）。代入(2)： $$ 4y-16+8\left(-\frac{2z}{y}\right)z=0 $$ 即 $$ 4y-16-\frac{16z^{2}}{y}=0 $$ 乘以 $y$： $$ 4y^{2}-16y-16z^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-4y-4z^{2}=0 $$ 又由约束 $y^{2}+4z^{2}=16$，两式相加得 $$ (y^{2}-4y-4z^{2})+(y^{2}+4z^{2})=16 $$ 即 $$ 2y^{2}-4y=16 \quad\Rightarrow\quad y^{2}-2y-8=0 $$ 解得 $y=4$ 或 $y=-2$。
- 若 $y=4$，则 $16+4z^{2}=16 \Rightarrow z=0$，此时 $\lambda = -\frac{2\cdot0}{4}=0$。 得到候选点 $(0,4,0)$，温度 $$ T=8\cdot0+4\cdot4\cdot0-16\cdot0+600=600 $$
- 若 $y=-2$，则 $4+4z^{2}=16 \Rightarrow 4z^{2}=12 \Rightarrow z=\pm\sqrt{3}$。 对于 $z=\sqrt{3}$，$\lambda = -\frac{2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}$； 对于 $z=-\sqrt{3}$，$\lambda = -\frac{2(-\sqrt{3})}{-2}=-\sqrt{3}$。 计算温度： 当 $y=-2,z=\sqrt{3}$： $$ T=0+4(-2)(\sqrt{3})-16\sqrt{3}+600 = -8\sqrt{3}-16\sqrt{3}+600=600-24\sqrt{3} $$ 当 $y=-2,z=-\sqrt{3}$： $$ T=0+4(-2)(-\sqrt{3})-16(-\sqrt{3})+600 = 8\sqrt{3}+16\sqrt{3}+600=600+24\sqrt{3} $$ 数值上 $24\sqrt{3}\approx 41.569$，所以后者温度约 $641.569$。
另外若 $y=0$，由(1)得 $4z=0\Rightarrow z=0$，约束给出 $x=0$，得点$(0,0,0)$，但该点不满足椭球面方程（左边为0），排除。
- **情况2：** $\lambda=-2$ 则第一个方程自动满足，由第二个方程： $$ 4z+2(-2)y=0 \Rightarrow 4z-4y=0 \Rightarrow z=y $$ 第三个方程： $$ 4y-16+8(-2)z=0 \Rightarrow 4y-16-16z=0 $$ 代入 $z=y$： $$ 4y-16-16y=0 \Rightarrow -12y=16 \Rightarrow y=-\frac{4}{3} $$ 于是 $z=-\frac{4}{3}$。约束条件： $$ 4x^{2}+\frac{16}{9}+4\cdot\frac{16}{9}=16 \Rightarrow 4x^{2}+\frac{16}{9}+\frac{64}{9}=16 $$ $$ 4x^{2}+\frac{80}{9}=16 \Rightarrow 4x^{2}=16-\frac{80}{9}=\frac{144-80}{9}=\frac{64}{9} $$ $$ x^{2}=\frac{16}{9} \Rightarrow x=\pm\frac{4}{3} $$ 得到两个点：$\left(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)$ 和 $\left(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)$。 计算温度： $$ T=8x^{2}+4\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{4}{3}\right)-16\left(-\frac{4}{3}\right)+600 $$ $$ =8\cdot\frac{16}{9}+4\cdot\frac{16}{9}+\frac{64}{3}+600 $$ $$ =\frac{128}{9}+\frac{64}{9}+\frac{64}{3}= \frac{192}{9}+\frac{64}{3}= \frac{64}{3}+\frac{64}{3}=\frac{128}{3}\approx 42.667 $$ 加上600得 $642.667$。
**第四步：比较各候选点温度**
- $(0,4,0)$：$600$ - $(-2,\sqrt{3})$：$600-24\sqrt{3}\approx 558.43$ - $(-2,-\sqrt{3})$：$600+24\sqrt{3}\approx 641.57$ - $\left(\pm\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)$：$600+\frac{128}{3}\approx 642.667$
因此最大值出现在 $$ \left(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right),\quad \left(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right) $$ 温度均为 $600+\frac{128}{3}$。
**最终答案** $$ \boxed{\left(\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)\text{ 和 }\left(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right)} $$
难度：★★★☆☆