同济高数 第9章 第9-9-1题
📝 题目
1．求函数 $f(x, y)=2 x^{2}-x y-y^{2}-6 x-3 y+5$ 在点 $(1,-2)$ 的泰勒公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ f(x,y)=2x^{2}-xy-y^{2}-6x-3y+5 $$ 在点 $(1,-2)$ 的泰勒公式。由于这是一个二次多项式，泰勒展开到二阶项即为精确表达式。
**第一步：计算函数在点 $(1,-2)$ 的值** $$ f(1,-2)=2(1)^{2}-(1)(-2)-(-2)^{2}-6(1)-3(-2)+5 $$ 逐项计算： $2(1)=2$， $- (1)(-2)=+2$， $-(-2)^{2}=-4$， $-6(1)=-6$， $-3(-2)=+6$， 最后 $+5$。 相加：$2+2-4-6+6+5=5$。 所以 $$ f(1,-2)=5. $$
**第二步：计算一阶偏导数在点 $(1,-2)$ 的值** $$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=4x - y -6, \quad f_x(1,-2)=4(1)-(-2)-6=4+2-6=0. $$ $$ f_y = \frac{\partial f}{\partial y}= -x -2y -3, \quad f_y(1,-2)= -1 -2(-2)-3 = -1+4-3=0. $$ 一阶偏导均为零，说明该点是驻点。
**第三步：计算二阶偏导数（常数）** $$ f_{xx}=4,\quad f_{xy}=-1,\quad f_{yy}=-2. $$ 这些值在任意点都相同，所以在 $(1,-2)$ 处也是这些常数。
**第四步：写出泰勒公式** 对于二元函数在点 $(a,b)$ 的泰勒展开到二阶： $$ f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) +\frac{1}{2!}\Big[f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\Big]. $$ 代入 $a=1,b=-2$ 及上面结果： $$ f(x,y)=5+0+0+\frac{1}{2}\Big[4(x-1)^2+2(-1)(x-1)(y+2)+(-2)(y+2)^2\Big]. $$ 化简： $$ f(x,y)=5+2(x-1)^2-(x-1)(y+2)-(y+2)^2. $$ 这就是原函数的精确泰勒公式（因为原函数是二次多项式）。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接计算偏导数值并代入公式即可，无复杂运算）