同济高数 第1章 第1-1-10题
📝 题目
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）$y=\cos (x-2)$ ； （2）$y=\cos 4 x$ ； （3）$y=1+\sin \pi x$ ； （4）$y=x \cos x$ ； （5）$y=\sin ^{2} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** $ y = \cos (x-2) $ 余弦函数 $\cos u$ 是周期函数，周期为 $2\pi$。 这里 $u = x-2$，只是水平平移，不影响周期。 所以该函数是周期函数，周期为 $2\pi$。
**（2）** $ y = \cos 4x $ 余弦函数 $\cos u$ 周期为 $2\pi$，令 $u = 4x$，则 $$ \cos(4x) = \cos(4x + 2\pi) = \cos\left[4\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right] $$ 所以周期为 $\frac{\pi}{2}$。
**（3）** $ y = 1 + \sin \pi x $ 正弦函数 $\sin u$ 周期为 $2\pi$，令 $u = \pi x$，则 $$ \sin(\pi x) = \sin(\pi x + 2\pi) = \sin\left[\pi(x + 2)\right] $$ 所以周期为 $2$。
**（4）** $ y = x \cos x $ 假设存在周期 $T > 0$，则对任意 $x$ 应有 $$ (x+T)\cos(x+T) = x\cos x $$ 取 $x = 0$ 得 $T\cos T = 0$，故 $\cos T = 0$，即 $T = \frac{\pi}{2} + k\pi$。 再取 $x = T$，得 $$ 2T\cos(2T) = T\cos T = 0 $$ 若 $T \neq 0$，则 $\cos(2T) = 0$，但由 $\cos T = 0$ 得 $2T = \pi + 2k\pi$，此时 $\cos(2T) = -1 \neq 0$，矛盾。 所以不是周期函数。
**（5）** $ y = \sin^2 x $ 利用公式 $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $\cos 2x$ 的周期为 $\pi$，所以该函数周期为 $\pi$。
**总结：** （1）周期 $2\pi$； （2）周期 $\frac{\pi}{2}$； （3）周期 $2$； （4）非周期函数； （5）周期 $\pi$。