同济高数 第1章 第1-1-4题

[AI解答]

[AI解答] **题目**：讨论下列函数的有界性： （1）$ f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} $ （2）$ f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} $

---

### （1）$ f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} $

**步骤1：分析定义域** 定义域为 $ \mathbb{R} $，函数连续。

**步骤2：考察当 $ x \to \pm\infty $ 时的极限** $$ \lim_{x\to \infty} \frac{x}{1+x^{2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \frac{1}{x} + x } = 0 $$ 同理 $ x\to -\infty $ 时极限也为 0。

**步骤3：求极值** 求导： $$ f'(x) = \frac{(1+x^{2}) - x(2x)}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} $$ 令 $ f'(x)=0 $ 得 $ x = \pm 1 $。

计算： $$ f(1) = \frac{1}{2}, \quad f(-1) = -\frac{1}{2} $$ 由于函数连续且两端趋于0，故最大值 $ \frac12 $，最小值 $ -\frac12 $。

**结论**：函数有界，且 $$ |f(x)| \le \frac12 $$

---

### （2）$ f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} $

**步骤1：定义域** 分母 $ 1+x^{4} \ge 1 > 0 $，定义域为 $ \mathbb{R} $，函数连续。

**步骤2：考察无穷远处** 当 $ x\to \pm\infty $： $$ \frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \sim \frac{x^{2}}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}} \to 0 $$ 所以两端趋于 0。

**步骤3：求极值** 求导： $$ f'(x) = \frac{2x(1+x^{4}) - (1+x^{2})\cdot 4x^{3}}{(1+x^{4})^{2}} = \frac{2x + 2x^{5} - 4x^{3} - 4x^{5}}{(1+x^{4})^{2}} = \frac{2x - 4x^{3} - 2x^{5}}{(1+x^{4})^{2}} $$ 提取公因式： $$ f'(x) = \frac{2x(1 - 2x^{2} - x^{4})}{(1+x^{4})^{2}} $$ 令 $ f'(x)=0 $ 得 $ x=0 $ 或 $ 1 - 2x^{2} - x^{4}=0 $。

令 $ t = x^{2} \ge 0 $，则方程： $$ t^{2} + 2t - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -1 \pm \sqrt{2} $$ 取正根：$ t = \sqrt{2} - 1 $，即 $ x = \pm \sqrt{\sqrt{2} - 1} $。

**步骤4：比较函数值** 计算： $$ f(0) = 1 $$ 令 $ a = \sqrt{\sqrt{2} - 1} $，则 $ a^{2} = \sqrt{2} - 1 $，$ a^{4} = (\sqrt{2} - 1)^{2} = 3 - 2\sqrt{2} $。 于是： $$ f(a) = \frac{1 + (\sqrt{2} - 1)}{1 + (3 - 2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} $$ 有理化分母： $$ \frac{\sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(4-2)} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2} $$ 显然 $ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \approx 1.207 > 1 $，所以最大值是 $ \frac{\sqrt{2}+1}{2} $，最小值是 0（取不到，但下确界为0）。

**结论**：函数有界，且 $$ 0 < f(x) \le \frac{\sqrt{2}+1}{2} $$

---

**最终答案**： （1）有界，$ |f(x)| \le \frac12 $； （2）有界，$ 0 < f(x) \le \frac{\sqrt{2}+1}{2} $。