同济高数 第1章 第1-1-7题
📝 题目
7．设 $f(x)$ 为定义在 $(-l, l)$ 内的奇函数，若 $f(x)$ 在 $(0, l)$ 内单调增加，证明 $f(x)$ 在 $(-l, 0)$ 内也单调增加．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：设 $ f(x) $ 为定义在 $ (-l, l) $ 内的奇函数，若 $ f(x) $ 在 $ (0, l) $ 内单调增加，证明 $ f(x) $ 在 $ (-l, 0) $ 内也单调增加。
**证明**：
由奇函数的定义，对任意 $ x \in (-l, l) $，有 $$ f(-x) = -f(x). $$
现取任意两点 $ x_1, x_2 \in (-l, 0) $，且设 $ x_1 < x_2 $。 由于 $ x_1, x_2 $ 均为负数，则 $$ -x_1 > -x_2 > 0, $$ 且 $ -x_1, -x_2 \in (0, l) $。
已知 $ f(x) $ 在 $ (0, l) $ 内单调增加，因此有 $$ f(-x_1) > f(-x_2). $$
利用奇函数性质： $$ f(-x_1) = -f(x_1), \quad f(-x_2) = -f(x_2). $$ 代入不等式得 $$ - f(x_1) > - f(x_2). $$
两边同时乘以 $-1$（注意不等号方向改变），得到 $$ f(x_1) < f(x_2). $$
这说明在区间 $ (-l, 0) $ 内，当 $ x_1 < x_2 $ 时，有 $ f(x_1) < f(x_2) $，即 $ f(x) $ 在 $ (-l, 0) $ 内也单调增加。
证毕。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆奇函数定义
由奇函数定义，对任意x∈(-l,l)，有f(-x) = -f(x)。
公式：f(-x) = -f(x)
提示：奇函数图像关于原点对称。
步骤 2/5
目标：任取两点并建立关系
任取x1, x2 ∈ (-l, 0)，且x1 < x2。则-x1 > -x2 > 0，且-x1, -x2 ∈ (0, l)。
提示：注意负数取相反数后大小关系反转。
步骤 3/5
目标：利用已知单调性
由于f(x)在(0,l)内单调增加，故f(-x1) > f(-x2)。
提示：单调增加：自变量大则函数值大。
步骤 4/5
目标：应用奇函数性质
由奇函数性质，f(-x1) = -f(x1)，f(-x2) = -f(x2)，代入得 -f(x1) > -f(x2)。
步骤 5/5
目标：推导结论
不等式两边乘以-1（不等号反向）得 f(x1) < f(x2)。因此f(x)在(-l,0)内单调增加。
提示：乘以负数不等号方向改变。
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