同济高数 第1章 第1-10-5题
📝 题目
5．证明：方程 $x^{3}+2 x^{2}-4 x-1=0$ 有三个实根．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：证明方程 $x^{3}+2 x^{2}-4 x-1=0$ 有三个实根。
**证明**：
令 $$ f(x) = x^{3} + 2x^{2} - 4x - 1 $$ 这是一个三次多项式，在 $\mathbb{R}$ 上连续，且当 $|x| \to \infty$ 时，$f(x) \to \pm\infty$（因为最高次项系数为正）。 我们通过找三个函数值异号的区间来证明存在三个实根。
1. 计算几个关键点的函数值： $$ f(-3) = (-27) + 2\cdot 9 - 4\cdot(-3) - 1 = -27 + 18 + 12 - 1 = 2 > 0 $$ $$ f(-2) = (-8) + 2\cdot 4 - 4\cdot(-2) - 1 = -8 + 8 + 8 - 1 = 7 > 0 $$ $$ f(-1) = (-1) + 2\cdot 1 - 4\cdot(-1) - 1 = -1 + 2 + 4 - 1 = 4 > 0 $$ $$ f(0) = -1 < 0 $$ $$ f(1) = 1 + 2 - 4 - 1 = -2 < 0 $$ $$ f(2) = 8 + 8 - 8 - 1 = 7 > 0 $$
2. 观察符号变化： - 在区间 $(-3, -2)$ 上，$f(-3)=2>0$，$f(-2)=7>0$，没有变号，但此处不能直接断定有根。 实际上我们需要更精确的区间。检查 $f(-4)$： $$ f(-4) = -64 + 32 + 16 - 1 = -17 < 0 $$ 于是区间 $(-4, -3)$ 上，$f(-4)<0$，$f(-3)>0$，由零点定理，存在一个根 $\xi_1 \in (-4, -3)$。
- 在区间 $(-1, 0)$ 上，$f(-1)=4>0$，$f(0)=-1<0$，由零点定理，存在一个根 $\xi_2 \in (-1, 0)$。
- 在区间 $(1, 2)$ 上，$f(1)=-2<0$，$f(2)=7>0$，由零点定理，存在一个根 $\xi_3 \in (1, 2)$。
3. 由于三次方程最多有三个实根，而我们已经找到三个互不相同的实根区间，因此原方程恰有三个实根。
**结论**：方程 $x^{3}+2 x^{2}-4 x-1=0$ 有三个实根。