同济高数 第1章 第1-2-2题
📝 题目
2．（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）数列的有界性是数列收敛的**必要条件**，但不是充分条件。
**解释**： 若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则它一定有界。但反之不成立，例如数列 $a_n = (-1)^n$ 是有界的（$|a_n| \le 1$），但它不收敛。因此有界性是收敛的必要条件。
（2）**无界数列一定发散**。
**解释**： 若数列无界，则它不可能收敛。因为收敛数列必有界（收敛数列的有界性定理），所以无界数列必然发散。
（3）**有界数列不一定收敛**。
**解释**： 例如 $a_n = (-1)^n$ 有界但不收敛。又如 $a_n = \sin n$ 也有界（$|\sin n| \le 1$），但也不收敛。因此有界性不能保证收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断数列有界性与收敛性的关系
（1）数列的有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。因为收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛，例如a_n=(-1)^n。
提示：记住收敛数列必有界，但有界不一定收敛。
步骤 2/3
目标：判断无界数列是否发散
（2）无界数列一定发散。因为如果数列收敛，则它一定有界，所以无界数列不可能收敛，必然发散。
提示：利用逆否命题：收敛⇒有界，所以无界⇒发散。
步骤 3/3
目标：判断有界数列是否一定收敛
（3）有界数列不一定收敛。例如a_n=(-1)^n是有界的，但它在-1和1之间振荡，不收敛。
提示：有界是收敛的必要条件，不是充分条件。
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