同济高数 第1章 第1-2-*8题

教材习题

📝 题目

＊8．对于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，若 $x_{2 k-1} \rightarrow a(k \rightarrow \infty), x_{2 k} \rightarrow a(k \rightarrow \infty)$ ，证明 $x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**题目**： 对于数列 $\{x_n\}$，若 $x_{2k-1} \to a \ (k \to \infty)$，且 $x_{2k} \to a \ (k \to \infty)$，证明 $x_n \to a \ (n \to \infty)$。

**证明**： 由条件，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$：

1. 因为 $x_{2k-1} \to a$，存在正整数 $K_1$，使得当 $k > K_1$ 时，有 $$ |x_{2k-1} - a| < \varepsilon. $$

2. 因为 $x_{2k} \to a$，存在正整数 $K_2$，使得当 $k > K_2$ 时，有 $$ |x_{2k} - a| < \varepsilon. $$

取 $N = \max\{2K_1, 2K_2\}$。现在考虑任意 $n > N$：

- 若 $n$ 为奇数，设 $n = 2k-1$，则 $k > K_1$，因此 $$ |x_n - a| = |x_{2k-1} - a| < \varepsilon. $$

- 若 $n$ 为偶数，设 $n = 2k$，则 $k > K_2$，因此 $$ |x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon. $$

因此，对任意 $n > N$，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。由极限定义可知 $$ \lim_{n \to \infty} x_n = a. $$

证毕。

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：由条件，对于任意给定的 ε>0，存在正整数 K1 和 K2
因为 x_{2k-1} → a，存在 K1，当 k > K1 时 |x_{2k-1} - a| < ε；因为 x_{2k} → a，存在 K2，当 k > K2 时 |x_{2k} - a| < ε。
提示：利用子列极限定义，分别对奇数项和偶数项写出 ε-N 定义。
步骤 2/4
目标：取 N = max{2K1, 2K2}
令 N = max{2K1, 2K2}，则当 n > N 时，n 为奇数或偶数。
公式：N = max{2K1, 2K2}
提示：注意 N 的取法要保证奇数项和偶数项都满足条件。
步骤 3/4
目标：分情况讨论 n 的奇偶性
若 n 为奇数，设 n=2k-1，则 k > K1，故 |x_n - a| < ε；若 n 为偶数，设 n=2k，则 k > K2，故 |x_n - a| < ε。
提示：当 n>N 时，奇数项对应的 k 满足 k > K1，偶数项对应的 k 满足 k > K2。
步骤 4/4
目标：由极限定义得结论
对任意 ε>0，存在 N，当 n>N 时，|x_n - a| < ε，故 lim_{n→∞} x_n = a。
提示：完成证明。

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