同济高数 第1章 第1-7-1题
📝 题目
1．当 $x \rightarrow 0$ 时， $2 x-x^{2}$ 与 $x^{2}-x^{3}$ 相比，哪一个是高阶无穷小？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要比较当 $x \to 0$ 时，$2x - x^2$ 与 $x^2 - x^3$ 哪一个是高阶无穷小，即比较它们趋于 0 的速度快慢。 我们计算它们的比值的极限。
设 $$ \alpha(x) = 2x - x^2, \quad \beta(x) = x^2 - x^3. $$
考虑极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x^3}{2x - x^2}. $$
分子分母同时提取最低次幂： $$ \frac{x^2(1 - x)}{x(2 - x)} = \frac{x(1 - x)}{2 - x}. $$
于是 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - x)}{2 - x} = \frac{0 \cdot (1 - 0)}{2 - 0} = 0. $$
由于 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 0, $$ 说明 $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小。
因此，当 $x \to 0$ 时，$x^2 - x^3$ 是比 $2x - x^2$ 更高阶的无穷小。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定比较对象
设 α(x)=2x-x²，β(x)=x²-x³。比较当 x→0 时，哪个是更高阶的无穷小，即比较它们趋于0的速度。
提示：高阶无穷小是指趋于0的速度更快。
步骤 2/5
目标：计算比值极限
计算 lim_{x→0} β(x)/α(x) = lim_{x→0} (x²-x³)/(2x-x²)。
公式：lim_{x→0} β(x)/α(x)
提示：若极限为0，则β是α的高阶无穷小；若为∞，则α是β的高阶无穷小；若为非零常数，则同阶。
步骤 3/5
目标：化简表达式
分子分母提取公因式：分子=x²(1-x)，分母=x(2-x)，所以原式=lim_{x→0} [x(1-x)]/(2-x)。
公式：x²(1-x) / [x(2-x)] = x(1-x)/(2-x)
提示：注意x≠0，但极限过程x→0，可约去x。
步骤 4/5
目标：计算极限值
代入x=0：lim_{x→0} x(1-x)/(2-x) = 0·1/2 = 0。
提示：直接代入即可。
步骤 5/5
目标：得出结论
因为极限为0，所以β(x)是比α(x)高阶的无穷小，即x²-x³是比2x-x²高阶的无穷小。
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