同济高数 第1章 第1-8-8题
📝 题目
8．设 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ ，有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，证明：$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $f(x)$ 满足对任意实数 $x, y$ 有 $$ f(x+y) = f(x) + f(y) $$ 且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。要证明 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续。
**证明步骤：**
1. 由函数方程，令 $y = 0$，得 $$ f(x) = f(x) + f(0) \quad\Rightarrow\quad f(0) = 0. $$
2. 由连续性条件：$f$ 在 $x=0$ 连续，即 $$ \lim_{h \to 0} f(h) = f(0) = 0. $$
3. 对任意 $x_0 \in \mathbf{R}$，考虑增量 $h$，有 $$ f(x_0 + h) - f(x_0) = f(x_0) + f(h) - f(x_0) = f(h). $$ 这里用到了函数方程 $f(x_0+h) = f(x_0) + f(h)$。
4. 因此 $$ \lim_{h \to 0} \bigl[ f(x_0 + h) - f(x_0) \bigr] = \lim_{h \to 0} f(h) = 0. $$ 即 $$ \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0). $$
5. 这说明 $f$ 在任意点 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续。
证毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：推导f(0)=0
令y=0，代入函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)，得f(x)=f(x)+f(0)，因此f(0)=0。
公式：f(x)=f(x)+f(0) ⇒ f(0)=0
提示：利用函数方程的特殊取值
步骤 2/5
目标：利用f在x=0连续的条件
由f在x=0连续，且f(0)=0，得lim_{h→0} f(h)=0。
公式：lim_{h→0} f(h)=f(0)=0
提示：连续定义：极限值等于函数值
步骤 3/5
目标：计算任意点x0处的增量
对任意x0∈R，考虑增量h，有f(x0+h)-f(x0)=f(x0)+f(h)-f(x0)=f(h)。
公式：f(x0+h)=f(x0)+f(h) ⇒ f(x0+h)-f(x0)=f(h)
提示：利用函数方程将增量转化为f(h)
步骤 4/5
目标：证明f在x0连续
取极限：lim_{h→0}[f(x0+h)-f(x0)]=lim_{h→0}f(h)=0，因此lim_{h→0}f(x0+h)=f(x0)。
公式：lim_{h→0}f(x0+h)=f(x0)
提示：由极限的线性性质
步骤 5/5
目标：由x0的任意性得f在R上连续
由于x0是任意实数，故f在每一点连续，即f在R上连续。
提示：连续性的定义
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