同济高数 第1章 第1-9-2题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续，证明函数
$$ \varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\} $$
在点 $x_{0}$ 也连续。
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，即 $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0), \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0). $$
考虑最大值函数 $\varphi(x) = \max\{f(x), g(x)\}$。利用恒等式 $$ \max\{a, b\} = \frac{a + b + |a - b|}{2}. $$ 因此 $$ \varphi(x) = \frac{f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|}{2}. $$ 由于 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x_0$ 连续，它们的和、差、以及绝对值函数（绝对值函数是连续函数）仍然连续，因此 $\varphi(x)$ 在 $x_0$ 连续。
同理，对于最小值函数 $\psi(x) = \min\{f(x), g(x)\}$，有恒等式 $$ \min\{a, b\} = \frac{a + b - |a - b|}{2}. $$ 因此 $$ \psi(x) = \frac{f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|}{2}. $$ 同样由连续函数的四则运算与绝对值连续性可知 $\psi(x)$ 在 $x_0$ 连续。
综上，$\varphi(x)$ 与 $\psi(x)$ 均在点 $x_0$ 连续。证毕。
难度：★★☆☆☆