同济高数 第1章 第1-9-5题
📝 题目
5．设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）$\varphi[f(x)]$ 必有间断点； （2）$[\varphi(x)]^{2}$ 必有间断点； （3）$f[\varphi(x)]$ 未必有间断点； （4）$\displaystyle \frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点．
💡 答案解析
[AI解答]
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本题主要考察连续函数与间断函数复合、四则运算后间断点的变化情况。已知 $ f(x) $ 在 $\mathbf{R}$ 上连续且处处非零，$\varphi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义且有间断点。
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**（1）$\varphi[f(x)]$ 必有间断点** 这个陈述是 **错的**。 理由：虽然 $\varphi$ 有间断点，但复合函数 $\varphi[f(x)]$ 的间断性取决于 $f(x)$ 的值域是否包含 $\varphi$ 的间断点。若 $f(x)$ 的值域完全避开 $\varphi$ 的间断点，则复合函数可能连续。 反例：取 $$ \varphi(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0,\\ 0, & x < 0, \end{cases} \quad f(x) = e^x > 0. $$ 则 $\varphi[f(x)] = \varphi(e^x) = 1$ 处处连续，无间断点。
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**（2）$[\varphi(x)]^{2}$ 必有间断点** 这个陈述是 **错的**。 理由：平方运算可能消除间断性，例如跳跃间断点平方后可能变为连续。 反例：取 $$ \varphi(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0,\\ -1, & x < 0, \end{cases} $$ 则 $[\varphi(x)]^2 = 1$ 处处连续，无间断点。
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**（3）$f[\varphi(x)]$ 未必有间断点** 这个陈述是 **对的**。 理由：若 $f$ 是常数函数，则复合后为常数，连续。 例如：取 $f(x) = 1$（连续且非零），$\varphi(x)$ 任意有间断点，则 $f[\varphi(x)] = 1$ 处处连续。 因此“未必有间断点”正确。
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**（4）$\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点** 这个陈述是 **对的**。 理由：由于 $f(x)$ 连续且处处非零，$\frac{1}{f(x)}$ 连续。若 $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 连续，则 $$ \varphi(x) = f(x) \cdot \frac{\varphi(x)}{f(x)} $$ 为连续函数之积，应连续，与 $\varphi(x)$ 有间断点矛盾。因此该函数必有间断点。
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**难度评级**：★★★☆☆ 理由：需要理解复合函数与四则运算对间断点的影响，并能构造反例，有一定综合性。