同济高数 第2章 第2-1-20题
📝 题目
20．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设双曲线方程为 $$ xy = a^{2}, \quad (a>0) $$ 任取其上一点 $P(x_0, y_0)$，满足 $$ x_0 y_0 = a^{2}. $$ 将方程视为隐函数 $y = \frac{a^{2}}{x}$，求导得 $$ y' = -\frac{a^{2}}{x^{2}}. $$ 因此在点 $P$ 处的切线斜率为 $$ k = y'(x_0) = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}. $$ 切线方程为 $$ y - y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0). $$ 分别求该切线与两坐标轴的交点：
- 令 $x = 0$，得 $$ y - y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(-x_0) = \frac{a^{2}}{x_0}, $$ 所以 $$ y = y_0 + \frac{a^{2}}{x_0} = \frac{a^{2}}{x_0} + \frac{a^{2}}{x_0} = \frac{2a^{2}}{x_0}. $$ 即与 $y$ 轴交点为 $\left(0, \displaystyle{}\frac{2a^{2}}{x_0}\right)$。
- 令 $y = 0$，得 $$ 0 - y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0), $$ 即 $$ -y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0) \quad\Rightarrow\quad y_0 = \frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0). $$ 代入 $y_0 = \frac{a^{2}}{x_0}$，得 $$ \frac{a^{2}}{x_0} = \frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0) \quad\Rightarrow\quad x_0 = x - x_0, $$ 所以 $$ x = 2x_0. $$ 即与 $x$ 轴交点为 $(2x_0, 0)$。
因此切线与两坐标轴围成的直角三角形两直角边长分别为 $|2x_0|$ 与 $\left|\displaystyle{}\frac{2a^{2}}{x_0}\right|$，其面积为 $$ S = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot \left|\frac{2a^{2}}{x_0}\right| = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2a^{2}}{|x_0|} = 2a^{2}. $$ 由于 $x_0 \neq 0$，面积恒为常数 $2a^{2}$，与点的选取无关。
难度：★★☆☆☆