同济高数 第2章 第2-1-8题

[AI解答]

[AI解答] 题目：设 $ f(x) $ 可导，$ F(x) = f(x)(1 + |\sin x|) $，则 $ f(0)=0 $ 是 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导的什么条件？

**第一步：分析可导性条件** 由于 $ f(x) $ 可导，则 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续且可导。 而 $ |\sin x| $ 在 $ x=0 $ 处不可导（因为左右导数符号相反），因此 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 的可导性取决于乘积中绝对值部分的影响。

**第二步：用导数定义考察 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 的可导性** $$ F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)(1+|\sin x|) - f(0)(1+|\sin 0|)}{x} $$ 由于 $ |\sin 0| = 0 $，所以 $ F(0) = f(0) $。于是 $$ F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)(1+|\sin x|) - f(0)}{x} $$

**第三步：将分子拆项处理** $$ F'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{f(x)|\sin x|}{x} $$ 第一个极限就是 $ f'(0) $。 第二个极限需要分左右讨论：

- 当 $ x \to 0^+ $ 时，$ |\sin x| = \sin x $，则 $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)\sin x}{x} = \lim_{x \to 0^+} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x} = f(0) \cdot 1 = f(0) $$ - 当 $ x \to 0^- $ 时，$ |\sin x| = -\sin x $，则 $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)(-\sin x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} -f(x) \cdot \frac{\sin x}{x} = -f(0) \cdot 1 = -f(0) $$

**第四步：左右导数相等条件** 左右导数分别为： $$ F'_+(0) = f'(0) + f(0), \quad F'_-(0) = f'(0) - f(0) $$ 要使 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 可导，必须 $ F'_+(0) = F'_-(0) $，即 $$ f'(0) + f(0) = f'(0) - f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0 $$ 并且此时 $ F'(0) = f'(0) $。

**第五步：充分性与必要性判断** - 若 $ f(0)=0 $，则左右导数相等，$ F(x) $ 在 $ x=0 $ 可导，因此是充分的。 - 若 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 可导，则必须 $ f(0)=0 $，因此也是必要的。

所以 $ f(0)=0 $ 是 $ F(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导的 **充分必要条件**。

**最终答案**：选（A）

难度：★★☆☆☆