同济高数 第2章 第2-2-10题
📝 题目
10．设 $f(x)$ 可导，求下列函数的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=f\left(\sin ^{2} x\right)+f\left(\cos ^{2} x\right)$ ； （3）$\displaystyle y=\frac{f\left(\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{f(x)}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $ y = f(x^2) $，由链式法则： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f'(x^2) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x^2) = f'(x^2) \cdot 2x $$ 因此： $$ \boxed{2x f'(x^2)} $$
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**（2）** 已知 $ y = f(\sin^2 x) + f(\cos^2 x) $，分别对两项求导：
第一项： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(\sin^2 x) = f'(\sin^2 x) \cdot 2\sin x \cos x = f'(\sin^2 x) \cdot \sin 2x $$
第二项： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f(\cos^2 x) = f'(\cos^2 x) \cdot 2\cos x (-\sin x) = - f'(\cos^2 x) \cdot \sin 2x $$
因此： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \sin 2x \left[ f'(\sin^2 x) - f'(\cos^2 x) \right] $$ 结果为： $$ \boxed{\sin 2x \left[ f'(\sin^2 x) - f'(\cos^2 x) \right]} $$
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**（3）** 已知 $ y = \dfrac{f(e^x)}{e^{f(x)}} $，使用商法则或对数求导法。
令 $ y = f(e^x) \cdot e^{-f(x)} $，则： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f'(e^x) \cdot e^x \cdot e^{-f(x)} + f(e^x) \cdot e^{-f(x)} \cdot (-f'(x)) $$ 提取公因式 $ e^{-f(x)} $： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = e^{-f(x)} \left[ e^x f'(e^x) - f(e^x) f'(x) \right] $$ 因此： $$ \boxed{\frac{e^x f'(e^x) - f(e^x) f'(x)}{e^{f(x)}}} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考查链式法则与基本求导运算，属于中等偏易题）