同济高数 第2章 第2-2-4题
📝 题目
4．以初速度 $v_{0}$ 竖直上抛的物体，其上升高度 $s$ 与时间 $t$ 的关系是 $\displaystyle s=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}$ ．求： （1）该物体的速度 $v(t)$ ； （2）该物体达到最高点的时刻．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1）速度是位移对时间的一阶导数，因此 $$ v(t) = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}\right) = v_{0} - gt. $$ 所以物体的速度函数为 $$ v(t) = v_{0} - gt. $$
（2）物体达到最高点时，瞬时速度为零，即 $$ v(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad v_{0} - gt = 0. $$ 解得 $$ t = \frac{v_{0}}{g}. $$ 因此，物体达到最高点的时刻为 $t = \displaystyle\frac{v_{0}}{g}$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求速度函数 v(t)
速度是位移对时间的一阶导数，对 s = v0 t - (1/2) g t^2 求导。
公式：v(t) = ds/dt
提示：注意导数公式：d/dt (t^n) = n t^(n-1)
步骤 2/4
目标：计算导数
对 v0 t 求导得 v0，对 -(1/2) g t^2 求导得 -g t。
公式：v(t) = v0 - g t
提示：常数系数保留，幂次减1。
步骤 3/4
目标：求最高点时刻
最高点处速度为零，令 v(t)=0 解方程。
公式：v0 - g t = 0
提示：注意 g 是重力加速度，正值。
步骤 4/4
目标：解出时间 t
由 v0 - g t = 0 得 t = v0 / g。
公式：t = v0 / g
提示：结果为正数，符合物理意义。
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