同济高数 第2章 第2-3-2题
📝 题目
2．设 $f(x)=(x+10)^{6}$ ，求 $f^{\prime \prime \prime}(2)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ f(x) = (x+10)^6 $，要求三阶导数在 $ x=2 $ 处的值。
首先，求一阶导数： $$ f'(x) = 6(x+10)^5 $$
二阶导数： $$ f''(x) = 6 \cdot 5 (x+10)^4 = 30 (x+10)^4 $$
三阶导数： $$ f'''(x) = 30 \cdot 4 (x+10)^3 = 120 (x+10)^3 $$
代入 $ x = 2 $： $$ f'''(2) = 120 \cdot (2+10)^3 = 120 \cdot 12^3 $$
计算 $ 12^3 = 1728 $，于是： $$ f'''(2) = 120 \times 1728 = 207360 $$
因此，结果为： $$ \boxed{207360} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数
对 f(x) = (x+10)^6 求导，使用链式法则，得到 f'(x) = 6(x+10)^5
公式：d/dx (u^n) = n u^(n-1) u'
提示：注意内函数 u=x+10 的导数为 1
步骤 2/4
目标：求二阶导数
对 f'(x) = 6(x+10)^5 求导，得到 f''(x) = 6*5 (x+10)^4 = 30 (x+10)^4
公式：同上
提示：系数相乘
步骤 3/4
目标：求三阶导数
对 f''(x) = 30 (x+10)^4 求导，得到 f'''(x) = 30*4 (x+10)^3 = 120 (x+10)^3
公式：同上
提示：系数相乘
步骤 4/4
目标：代入 x=2 计算
将 x=2 代入 f'''(x) = 120 (x+10)^3，得 f'''(2) = 120 * (2+10)^3 = 120 * 12^3 = 120 * 1728 = 207360
提示：先计算括号内，再乘方，最后乘法
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