同济高数 第2章 第2-3-6题

[AI解答]

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**已知条件**： 陨星离地心的距离为 $ s $（单位：km），其速度 $ v $ 与 $ \sqrt{s} $ 成反比，即存在常数 $ k > 0 $，使得 $$ v = \frac{k}{\sqrt{s}}. $$

**目标**：证明加速度 $ a $ 与 $ s^2 $ 成反比。

**证明过程**：

1. 速度 $ v $ 是位置 $ s $ 对时间 $ t $ 的变化率，即 $$ v = \frac{ds}{dt}. $$ 由已知条件得 $$ \frac{ds}{dt} = \frac{k}{\sqrt{s}}. $$

2. 加速度 $ a $ 是速度对时间的变化率，即 $$ a = \frac{dv}{dt}. $$ 利用链式法则，可将加速度表示为 $$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt}. $$

3. 先计算 $ \displaystyle{\frac{dv}{ds}} $： 由 $ v = k s^{-1/2} $，得 $$ \frac{dv}{ds} = k \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) s^{-3/2} = -\frac{k}{2} s^{-3/2}. $$

4. 代入 $ \displaystyle{\frac{ds}{dt} = \frac{k}{\sqrt{s}} = k s^{-1/2}} $，得 $$ a = \left( -\frac{k}{2} s^{-3/2} \right) \cdot \left( k s^{-1/2} \right) = -\frac{k^2}{2} s^{-2}. $$

5. 因此 $$ a = -\frac{k^2}{2} \cdot \frac{1}{s^2}, $$ 即加速度的大小与 $ s^2 $ 成反比，负号表示加速度方向指向地心（减速运动）。

**结论**：陨星的加速度与 $ s^2 $ 成反比，证毕。

难度：★★☆☆☆