同济高数 第2章 第2-4-11题
📝 题目
11．落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波纹半径的增大速率总是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问在 2 s 末扰动水面面积增大的速率为多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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设最外一圈波纹的半径为 $ r $（单位：m），则半径随时间的变化率（即增大速率）为 $$ \frac{dr}{dt} = 6 \ \mathrm{m/s}. $$
扰动水面的面积 $ S $ 为圆的面积，即 $$ S = \pi r^2. $$
要求面积增大的速率，即求 $\displaystyle{\frac{dS}{dt}}$。由链式法则： $$ \frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi r \cdot 6 = 12\pi r. $$
在 $ t = 2 \ \mathrm{s} $ 时，半径 $$ r = 6 \times 2 = 12 \ \mathrm{m}. $$
代入得 $$ \frac{dS}{dt} = 12\pi \times 12 = 144\pi \ \mathrm{m^2/s}. $$
因此，在 2 s 末扰动水面面积增大的速率为 $$ \boxed{144\pi\ \mathrm{m^2/s}}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设变量并写出已知条件
设最外一圈波纹的半径为 r（单位：m），已知半径增大速率 dr/dt = 6 m/s。
提示：注意单位统一。
步骤 2/5
目标：建立面积与半径的关系
扰动水面面积为圆的面积 S = πr²。
公式：S = πr²
步骤 3/5
目标：求面积对时间的导数
由链式法则，dS/dt = (dS/dr) * (dr/dt) = 2πr * 6 = 12πr。
公式：dS/dt = 12πr
提示：链式法则是关键。
步骤 4/5
目标：计算2秒末的半径
由于半径以恒定速率增大，r = 6 * 2 = 12 m。
公式：r = 6t
步骤 5/5
目标：代入求面积变化率
将 r=12 代入 dS/dt = 12π * 12 = 144π m²/s。
提示：结果保留π。
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