同济高数 第2章 第2-4-2题
📝 题目
2．求曲线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{4} a, \frac{\sqrt{2}}{4} a\right)$ 处的切线方程和法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知曲线方程为： $$ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} $$ 点坐标为： $$ \left( \frac{\sqrt{2}}{4}a,\ \frac{\sqrt{2}}{4}a \right) $$
**第一步：隐函数求导** 对等式两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数： $$ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' = 0 $$ 两边同时乘以 $\frac{3}{2}$： $$ x^{-\frac{1}{3}} + y^{-\frac{1}{3}} y' = 0 $$ 解得： $$ y' = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}} = -\left( \frac{y}{x} \right)^{\frac{1}{3}} $$
**第二步：计算该点斜率** 代入 $x = \frac{\sqrt{2}}{4}a,\ y = \frac{\sqrt{2}}{4}a$，得： $$ y' = -\left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a} \right)^{\frac{1}{3}} = -1^{\frac{1}{3}} = -1 $$ 所以切线斜率 $k = -1$。
**第三步：切线方程** 点斜式： $$ y - \frac{\sqrt{2}}{4}a = -1 \left( x - \frac{\sqrt{2}}{4}a \right) $$ 整理得： $$ y = -x + \frac{\sqrt{2}}{2}a $$
**第四步：法线方程** 法线斜率 $k_{\perp} = -\frac{1}{k} = 1$，方程为： $$ y - \frac{\sqrt{2}}{4}a = 1 \cdot \left( x - \frac{\sqrt{2}}{4}a \right) $$ 整理得： $$ y = x $$
**最终结果** 切线方程： $$ \boxed{y = -x + \frac{\sqrt{2}}{2}a} $$ 法线方程： $$ \boxed{y = x} $$
难度：★☆☆☆☆